Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , đường cao BM và CN (MϵAC , N ϵ AB ) cắt nhau tại H. Chứng minh rằng AMHN và BNMC là các tứ giác nội tiếp.

 

Help mình nhé ~

Answer 1

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) = 90^o

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90^o (H \(\in\) BM; H \(\in\) CN do BM \(\cap\) CN tại H)

Xét tứ giác ANHM có: \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\)

\(\widehat{AMH}\) và \(\widehat{ANH}\) là 2 góc đối nhau (gt)

\(\Rightarrow\) ANHM là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) = 90^o

Mà \(\widehat{BNC}\) và \(\widehat{CMB}\) đều nhìn cạnh BC với một góc 90^o (cmt)

\(\Rightarrow\) BNMC là tứ giác nột tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Chúc bn học tốt!

Answer 2

Gọi O là trung điểm của AH

Ta có: ΔANH vuông tại N(HN⊥AB tại N)

mà NO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(NO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔAMH vuông tại M(HM⊥AC tại M)

mà MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(MO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Ta có: O là trung điểm của AH(cmt)

nên \(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OA=ON=OM=OH

⇔A,H,M,N∈(O)

hay tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn(O)

Gọi D là trung điểm của BC

Ta có: ΔCBN vuông tại N(CN⊥AB tại N)

mà ND là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(ND=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)

Ta có: ΔMBC vuông tại M(MB⊥AC tại M)

mà MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(MD=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(5)

Ta có: D là trung điểm của BC(theo cách gọi)

nên \(BD=DC=\dfrac{BC}{2}\)(6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra DB=DC=DN=DM

⇔B,C,N,M∈(D)

hay tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn(D)(đpcm)