a; (n + 10)(n + 15)

+ Nếu n là số chẵn ta có: n + 10 ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2

+ Nếu n là số lẻ ta có: n + 15 là số chẵn 

⇒ (n + 15) ⋮ 2 ⇒ (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 

Từ những lập luận trên ta có:

A = (n + 10)(n + 15) ⋮ 2 ∀ n \(\in\) N

vì số chia hết cho 2; 3 thì chia hết cho 6. ta có:

th1: n=2k => n chia hết cho 2 nên n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2

th2: n=2k+1 => n+1= 2k+1+1= 2k+2chia hết cho 2 nên n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2

Vậy với mọi trường hợp n chia hết cho 2

th1: n=3k => n chia hết cho 3 => n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3

th2: n=3k+1 => 2n+1= 2(3k+1)+ 1=2*3k+2 +1=6k+3 chia hết cho 3 => n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3

th3: n=3k+2 => n+1= 3k+2+1= 3k+3 chia hết cho 3 nên n(n+1) (n+2) chia hết cho 3

Vậy với mọi trường hợp n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3

=> n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2 và 3 => n(n+1) (n+2) chia hết cho 6

khó quá

a)  \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)\(⋮\)\(5\)

b)  \(\left(n-1\right)\left(3-2n\right)-n\left(n+5\right)\)

\(=3n-2n^2-3+2n-n^2-5n\)

\(=-3n^2-3\)

\(=-3\left(n^2+1\right)\)\(⋮\)\(3\)

     n^2.(n+1) + 2n.(n+1)

=(n+1). (n^2 + 2n)

= (n+1).n.(n+2) chia hết cho 6 (tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6)

n².(n + 1) + 2n.(n + 1) = (n² + 2n)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

Vì n(n + )(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3.

=> Tích n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 2 và 3.

Mà (2,3) = 1

=> n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6

=> n².(n+1)+2n.(n+1) chia hết cho 6