a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó;ΔABC vuông tại B

Xét ΔACD vuông tại C có CB là đường cao

nên \(AB\cdot AD=AC^2=4R^2\)

 Giải thích các bước giải:

a.Ta có: MA,MBMA,MB là tiếp tuyến của (O)→MO⊥AB(O)→MO⊥AB

Mà CDCD là tiếp tuyến của (O)→CD⊥AC(O)→CD⊥AC

→ˆOID=ˆOCD=90o→OID^=OCD^=90o

→O,I,D,C∈→O,I,D,C∈ đường tròn đường kính ODOD

b.Ta có: ˆAIO=ˆACD=90oAIO^=ACD^=90o

             ˆOAI=ˆCADOAI^=CAD^

→ΔAIO∼ΔACD(g.g)→ΔAIO∼ΔACD(g.g)

→AIAC=AOAD→AIAC=AOAD

→AI.AD=AO.AC=R⋅2R=2R2=8→AI.AD=AO.AC=R⋅2R=2R2=8

→2AI.AD=16→2AI.AD=16

→AB.AD=16→AB.AD=16

Vì MA,MBMA,MB là tiếp tuyến của (O)→MO⊥AB=I(O)→MO⊥AB=I là trung điểm ABAB

→AB=2AI→AB=2AI

c.Gọi MC∩OD=EMC∩OD=E

Ta có:

ˆCAD=ˆOAI=90o−ˆIAM=ˆAMI=ˆAMOCAD^=OAI^=90o−IAM^=AMI^=AMO^

Vì CDCD là tiếp tuyến của (O)(O)

Mà ˆMAO=ˆDCA=90oMAO^=DCA^=90o

→ΔMAO∼ΔACD(g.g)→ΔMAO∼ΔACD(g.g)

→MAAC=AOCD→MAAC=AOCD

→MAAC=OCCD→MAAC=OCCD

→MACO=ACCD→MACO=ACCD

Mà ˆMAC=ˆOCD=90oMAC^=OCD^=90o

→ΔMAC∼ΔOCD(c.g.c)→ΔMAC∼ΔOCD(c.g.c)

→ˆCOD=ˆCMA→COD^=CMA^

→ˆCOE=ˆCMA→COE^=CMA^

Do ˆOCE=ˆACMOCE^=ACM^

→ΔCEO∼ΔCAM(g.g)→ΔCEO∼ΔCAM(g.g)

→ˆCEO=ˆCAM=90o→CEO^=CAM^=90o

→OD⊥MC

a hình tự vẽ\

xét tứ giác maob có

góc MAO = 90 độ ( MA là tiế tuyến)

góc MBO=90 độ ( MB là tiếp tuyến)

-> MAO + MBO = 180 độ

=> tứ giác MAOB nội tiếp

a: Xét tứ giác OAMB có \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMB là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,B cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

mà OA=OB

nên MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại B

=>BA\(\perp\)BC

mà AB\(\perp\)OM

nên BC//OM

c: Sửa đề: cắt AB tại I

Xét ΔAOI vuông tại O có OH là đường cao

nên \(HA\cdot HI=OH^2\)

=>\(HB\cdot HI=OH^2\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HO\cdot HM=HA^2\)

Xét ΔOHA vuông tại H có \(OA^2=OH^2+HA^2\)

=>\(R^2=HB\cdot HI+HO\cdot HM\)

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA^2=MC*MD=MH*MO

=>MC/MO=MH/MD

=>ΔMCH đồng dạng với ΔMOD

=>góc MCH=góc MOD

=>góc HOD+góc HCD=180 độ

=>HODC nội tiếp

Dễ thấy: A,B,O,K,CA,B,O,K,C nằm trên đường tròn đường kính OAOA .

Ta có: AE.AD=AB2=AH.AO⇒E,D,H,OAE.AD=AB2=AH.AO⇒E,D,H,O cùng thuộc 1 đường tròn
Mặt khác: A,E,B,HA,E,B,H cùng thuộc đường tròn đường kính ABAB nên ˆEHF=ˆBAD=ˆEBD=ˆEOFEHF^=BAD^=EBD^=EOF^
Suy ra: E,H,O,FE,H,O,F đồng viên. Suy ra: E,H,O,F,DE,H,O,F,D cùng thuộc đường tròn đường kính OFOF.
Gọi JJ là giao điểm của ININ và ADAD.
Xét 2 tam giác: ΔIHJΔIHJ và ΔFHDΔFHD
Ta có: ˆJIH=ˆAIJJIH^=AIJ^ (t/c đối xứng) =ˆABC=ˆDFH=ABC^=DFH^
Mặt khác:ˆIHJ=ˆIAJIHJ^=IAJ^(t/c đối xứng) =ˆEOF=ˆDHF=EOF^=DHF^
Suy ra:ΔIHJΔIHJ và ΔFHDΔFHD đồng dạng nên JHHD=IHFHJHHD=IHFH
Mà IBFNIBFN là hình bình hành nên NF=IB=IHNF=IB=IH hay JHHD=NFFHJHHD=NFFH
Mà ˆJHD=ˆNFHJHD^=NFH^ (dùng cộng góc, góc nội tiếp,...)
nên ΔJHDΔJHD và ΔNFHΔNFH đồng dạng nên JHDNJHDN nội tiếp 
Ta suy ra:ˆNHD=ˆNJD=ˆHDFNHD^=NJD^=HDF^ nên suy ra: NH=NDNH=ND
Mà NH=NANH=NA (t/c đối xứng) nên NA=NDNA=ND(đ.p.c.m) 

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó; MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

b: Ta có: ΔONC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)NC tại I

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\)

Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có

\(\widehat{IOM}\) chung

Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHK

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OK}\)

=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OM=R^2\)

=>\(OI\cdot OK=OC\cdot OC\)

=>\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)

Xét ΔOIC và ΔOCK có

\(\dfrac{OI}{OC}=\dfrac{OC}{OK}\)

\(\widehat{IOC}\) chung

Do đó: ΔOIC đồng dạng với ΔOCK

=>\(\widehat{OIC}=\widehat{OCK}\)

=>\(\widehat{OCK}=90^0\)

=>KC là tiếp tuyến của (O)