Cho a,b,c là các số thực thoả mãn \(^{a^2+b^2+c^2\le12}\)
Tìm GTLN của biểu thức: S=\(4\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Cho a,b,c là các số thực thoả mãn \(^{a^2+b^2+c^2\le12}\)
Tìm GTLN của biểu thức: S=\(4\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le12\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=4\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\).
Giúp mình nhé! Ai nhanh mình tik cho!
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le12\)
Tìm max của \(S=4\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Giúp mình câu này nhé! Ai nhanh mình tik cho! Tks các bạn nhiều! :))
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức:\(P=3\left(ab+bc+ca\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{8}\left(c-a\right)^2\)
cho a,b,c la các số thực dương thoả mãn 2(a+b)+b=12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= \(\frac{1}{\left(a+3\right)^2}+\frac{4}{\left(b+4\right)^2}+\frac{8}{\left(c+5\right)^2}\)
a. Cho số thực x,y thoả mãn: \(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4\left(x^2+y^2\right)+15xy\)
b. Cho các số thực a,b,c thoả mãn \(\left\{{}\begin{matrix}-8+4a-2b+c>0\\8+4a+2b+c< 0\end{matrix}\right.\). Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+c\) và trục Ox.
a. Đề bài em ghi sai thì phải
Vì:
\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)
b.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)
\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)
Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb
Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện:
\(\left(a+\sqrt{1+b^2}\right)\left(b+\sqrt{1+a^2}\right)=1\)
Tính giá trị của biểu thức: \(S=\left(a^3+b^3\right)\left(a^7b-5a^2b^4+21ab^5+73\right)+320\)
1)Giải phương trình: \(\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3.\)
2)Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x^2+y^2=1\)Tìm GTNN và GTLN của biểu thức :
\(T=\sqrt{4+5x}+\sqrt{4+5y}.\)
3)Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng
\(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}.\)
Đề của trường ^^. mn giúp tui ,nhất là câu 2 tìm min ...
\(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[2-\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}\right]+\left[2-\frac{c\left(2b-c\right)}{b\left(c+a\right)}\right]+\left[2-\frac{a\left(2c-a\right)}{c\left(a+b\right)}\right]\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có :
\(\frac{b^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)( 1 )
\(\frac{ac}{a\left(b+c\right)}+\frac{ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{bc}{c\left(a+b\right)}=\frac{c^2}{c\left(b+c\right)}+\frac{a^2}{a\left(a+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(a+b\right)}\) ( 2 )
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\)
Cộng ( 1 ) với ( 2 ), ta được :
\(\frac{b^2+2ca}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2+2ab}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2+2bc}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{\left(1+2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)}\right)=\frac{9}{2}\)
không biết cách này ổn không
Ta có : \(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2-\frac{b}{a}}{\frac{c}{b}+1}\) ; tương tự :...
đặt \(\frac{a}{c}=x;\frac{b}{a}=y;\frac{c}{b}=z\Rightarrow xyz=1\)
\(\Sigma\frac{2-y}{z+1}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma xy^2+2\Sigma x^2+\Sigma xy\ge3\Sigma x+6\)( quy đồng khử mẫu )
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{x}{y}\ge\Sigma x\)( xyz = 1 ) ( luôn đúng )
\(\Rightarrowđpcm\)
1.\(\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3\)ĐK \(2x^2-1\ge0\)
<=> \(10x^2-3x-6-2\left(3x+1\right)\sqrt{2x^2-1}=0\)
<=> \(7x^2-4x-8+\left(3x+1\right)\left(x+2-2\sqrt{2x^2-1}\right)=0\)
<=>\(7x^2-4x-8+\left(3x+1\right).\frac{\left(x+2\right)^2-4\left(2x^2-1\right)}{x+2+2\sqrt{2x^2-1}}=0\)
<=> \(7x^2-4x-8+\left(3x+1\right).\frac{-7x^2+4x+8}{x+2+2\sqrt{2x^2-1}}=0\)
<=>\(\orbr{\begin{cases}7x^2-4x-8=0\left(1\right)\\1-\frac{3x+1}{x+2+2\sqrt{2x^2-1}}=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (2)
\(2\sqrt{2x^2-1}=2x-1\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\4x^2+4x-5=0\end{cases}}\)
=> \(x=\frac{-1+\sqrt{6}}{2}\)(thỏa mãn ĐKXĐ)
Giải (1)=> \(x=\frac{2+2\sqrt{15}}{7}\)
Vậy \(S=\left\{\frac{2+2\sqrt{15}}{7},\frac{-1+\sqrt{6}}{2}\right\}\)
cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+\(\sqrt{abc}\)=4.
tính giá trị của biểu thức: A=\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
Ta có: \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)
\(\Rightarrow4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\)
\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)
\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=\left|2a+\sqrt{abc}\right|=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\\\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)
Ta có \(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(a+c+\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+ac+a\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\\ =\sqrt{4a^2+ac\left(4-\sqrt{abc}-a-c\right)+4a\sqrt{abc}}\\ =\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}\\ =2a+\sqrt{abc}\left(a,b,c>0\right)\)
Cmtt \(\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}=2b+\sqrt{abc};\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-a\right)}=2c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow A=2\left(a+b+c\right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{abc}\\ A=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=2\cdot4=8\)