Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA\(\perp\)MN tại I

Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có

\(\widehat{HOA}\) chung

Do đó: ΔOHA~ΔOIC

=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OA}{OC}\)

=>\(OH\cdot OC=OA\cdot OI\)

mà \(OA\cdot OI=OM^2=OB^2\)

nên \(OB^2=OH\cdot OC\)

=>\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

Xét ΔOBC và ΔOHB có

\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)

\(\widehat{BOC}\) chung

Do đó: ΔOBC~ΔOHB

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OHB}\)

mà \(\widehat{OHB}=90^0\)

nên \(\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

a) Xét (O) có 

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

AN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: AM=AN; OM=ON(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: AM=AN(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OM=ON(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của MN(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

hay AO⊥MN(đpcm)

b) Xét (O) có 

ΔMNC nội tiếp đường tròn(C,M,N∈(O))

NC là đường kính

Do đó: ΔMNC vuông tại M(Định lí)

⇒MN⊥MC

Ta có: MN⊥MC(cmt)

MN⊥AO(cmt)

Do đó: MC//AO(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔOMA vuông tại M, ta được:

\(OA^2=OM^2+MA^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=OA^2-OM^2=5^2-3^2=16\)

hay \(AM=\sqrt{16}=4cm\)

mà AM=AN(cmt)

nên AN=4cm

Gọi H là giao điểm của MN và AO

mà MN⊥AO tại trung điểm của MN

nên H là trung điểm của MN và MH⊥AO tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAMO vuông tại M, ta được:

\(MH\cdot AO=MO\cdot MA\)

\(\Leftrightarrow MH\cdot5=4\cdot3=12\)

hay MH=2,4cm

mà \(MN=2\cdot MH\)(H là trung điểm chung của MN)

nên \(MN=2\cdot2.4=4.8cm\)

Chu vi tam giác AMN là: 

\(C=AM+AN+MN=5+5+4.8=14.8cm\)

a) ta có : AN = AM (tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) tam giác AMN cân tại A

OA là tia phân giác cũng là đường cao

\(\Rightarrow\) OA \(\perp\) MN (đpcm)

b) đặc H là giao điểm của MN và AO

ta có MH = HN (OA \(\perp\) MN \(\Rightarrow\) H là trung điểm MN)

mà CO = CN = R

\(\Rightarrow\) OH là đường trung bình của tam giác MNC

\(\Rightarrow\) OH // MC \(\Leftrightarrow\) MC // OA (đpcm)

c) OM = ON = R \(\Rightarrow\) ON = 3 (cm)

ta có : ON² + AN² = AO² (pytago) \(\Rightarrow\) AN² = AO² - ON²

= 5² - 3² = 25 - 9 = 16 \(\Rightarrow\) AN = \(\sqrt{16}=4\) (cm)

ta có : AO.HN = AN.NO (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow\) 5HN = 4.3 = 12 \(\Rightarrow\) HN = \(\dfrac{12}{5}=2,4\) (cm)

ta có MN = 2HN = 2.2,4 = 4,8 (H là trung điểm MN)

vậy AM = AN = 4(cm) ; MN = 4,8(cm)

Cho sửa lại đề tí ==* , câu b) là c/m MR // AO => MC // AO :>

a. Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN ( tính chất tam giác cân )

Vậy \(OA\perp MN\)

b. Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên góc (CMN) = 90^o

Suy ra: \(NM\perp MC\)

Mà \(OA\perp MN\)(chứng minh trên)

Suy ra: OA // MC

c. Ta có: \(AN\perp NC\) (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AON ta có :

AO² = AN² + ON²

Suy ra : AN² = AO² – ON² = 5² – 3² = 16

AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: \(MH=NH=\frac{MN}{2}\) (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có \(NH\perp AO\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OA . NH = AN . ON => \(NH=\frac{\left(AN.ON\right)}{AO}=\frac{\left(4.3\right)}{5}=2,4\)

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm)

Vậy .....................

a: Xét tứ giác AMON có

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\)

Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp

làm nhanh thi thôi