a) Với p=2

⇒ 5p+3=13 (TM)

Với p>2 

⇒ p=2k+1

⇒ 5p+3=5(2k+1)+3

             =10k+8 ⋮2

⇒ là hợp số (L)

Vậy p=2

Ho

a: TH1: p=3

=>p+14=17 và 4p+7=4*3+7=12+7=19(nhận)

TH2: p=3k+1

=>p+14=3k+15=3(k+5)

=>Loại

TH3: p=3k+2

4p+7=4(3k+2)+7=12k+8+7

=12k+15

=3(4k+5) chia hết cho 3

=>Loại

b: TH1: p=5

=>p+6=11; p+12=17; p+8=13; p+24=29

=>NHận

TH2: p=5k+1

=>p+24=5k+25=5(k+5)

=>Loại

TH3: p=5k+2

p+8=5k+10=5(k+2) chia hết cho 5

=>Loại

TH4: p=5k+3

p+12=5k+15=5(k+3)

=>loại
TH5: p=5k+4

=>p+6=5k+10=5(k+2)

=>Loại

\(A=\left(n+5\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left(n+5-n+6\right)\left(n+5+n-6\right)\)

\(=11\left(2n-1\right)\)

Để \(A\) là số nguyên tố thì \(11\left(2n-1\right)\) là số nguyên tố

mà 11 là số nguyên tố \(\Rightarrow2n-1=1\Rightarrow n=1\left(tm\right)\) 

#\(Urushi\)

\(2,\\ n=0\Leftrightarrow A=1\left(loại\right)\\ n=1\Leftrightarrow A=3\left(nhận\right)\\ n>1\Leftrightarrow A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\\ \Leftrightarrow A=n^2\left[\left(n^3\right)^{670}-1\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(\left(n^3\right)^{670}-1⋮\left(n^3-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮\left(n^2+n+1\right)\)

Tương tự \(\left(n^3\right)^{667}⋮\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow A⋮\left(n^2+n+1\right);A>1\)

Vậy A là hợp số với \(n>1\)

Vậy \(n=1\)

\(3,\)

Đặt \(A=n^4+n^3+1\)

\(n=1\Leftrightarrow A=3\left(loại\right)\\ n\ge2\Leftrightarrow\left(2n^2+n-1\right)^2\le4A\le\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4A=\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4n^2+4n^3+4=4n^2+4n^3+n^2\\ \Leftrightarrow n^2=4\Leftrightarrow n=2\)

Vậy \(n=2\)

Lời giải:

a.

Nếu $n=0$ thì $2^n+22=23$ là snt (thỏa mãn)

Nếu $n>0$ thì $2^n$ chẵn, $22$ chẵn

$\Rightarrow 2^n+22$ chẵn. Mà $2^n+22>2$ nên không thể là snt (trái đề bài)

Vậy $n=0$

b. $13n$ là snt khi $n<2$

Mà $n$ là snt nên $n=0,1$. Nếu $n=0$ thì $13n=0$ không là snt

Nếu $n=1$ thì $13n=13$ là snt (tm)