Gọi O là giao của AC và BD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

a: Xét ΔOFD vuông tại F và ΔOGA vuông tại G có

OD=OA

góc AOD chung

Do đó: ΔOFD=ΔOGA

=>góc OAG=góc ODF và OF=OG

Xét ΔOEC vuôg tại E và ΔOHB vuông tại H có

OC=OB

góc EOC chung

Do đó: ΔOEC=ΔOHB

=>OE=OH; góc OCE=góc OBH

Xét ΔOAD có OF/OA=OG/OD

nên FG//AD và FG/AD=OF/OA

=>góc OFG=góc OAD=góc OBC=góc OCB=góc OGF

Xét ΔOBC có OE/OB=OH/OC

nên EH//BC và EH/BC=OE/OB

=>góc OEH=góc OHE=góc OBC=góc ODA=góc OGF=góc OFG

Xét ΔFAD vuông tại F và ΔEBC vuông tại E có

AD=BC

góc FAD=góc EBC

Do đó: ΔFAD=ΔEBC

=>FD=EC

Xét tứ giác FGDA có FG//DA; góc FAD=góc GDA

nên FGDA là hình thang cân

=>FA=GD 

=>góc DFG=góc FAD

EH//BC

nên góc CEH=góc ECB=góc FDA=góc DFG

=>ΔCEH=ΔFDG

=>FG=EH

=>FG/AD=EH/BC

=>OF/OA=OE/OB

=>OF=OE và FE//AB//CD

Xét tứ giác CEFD có

FE//CD

FC=ED

Do đó: CEFD là hình thang cân

b: EF//AB

nên EF vuông góc với BC

=>EF vuông góc với FG

=>FEHG là hình chữ nhật

\(cos\widehat{DAC}=\sqrt{1-sin^2\widehat{DAC}}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{AD}{cos\widehat{DAC}}=70\)

\(CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=56\)

Trong tam giác vuông ADC với đường cao DF áp dụng hệ thức lượng:

\(\frac{1}{DF^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{CD^2}\Rightarrow DF=33,6\)

\(OD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AC=35\)

\(\Rightarrow sin\widehat{AOD}=\frac{DF}{OD}=0,96\)

b/ \(\frac{1}{CE^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{DF^2}\Rightarrow CE=DF=33,6\) (1)

\(cos\widehat{AOD}=\sqrt{1-sin^2\widehat{AOD}}=0,28\)

\(\Rightarrow OF=OD.cos\widehat{AOD}=35.0,26=9,1\)

\(OE=OC.cos\widehat{BOC}=OC.cos\widehat{AOD}=35.0,26=9,1\)

\(\Rightarrow\frac{OF}{OC}=\frac{OE}{OD}=\frac{9,1}{35}\Rightarrow EF||CD\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CEFD\) là hình thang cân

\(\frac{EF}{CD}=\frac{OF}{OC}=\frac{9,1}{35}\Rightarrow EF=\frac{9,1.CD}{35}=14,56\)

Kẻ \(EK\perp CD\Rightarrow\frac{1}{EK^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EC^2}\Rightarrow EK=\frac{ED.EC}{\sqrt{ED^2+EC^2}}=\frac{ED.EC}{CD}=26,46\)

\(\Rightarrow S_{CEFD}=\frac{1}{2}\left(EF+CD\right).EK=...\)

c/ \(\Delta OAD\) cân tại O (t/c hình chữ nhật) \(\Rightarrow AG=DF\) (2 đường cao xuất phát từ 2 góc đáy)

\(\Rightarrow\Delta_vODF=\Delta_vOAG\Rightarrow OF=OG\)

Tương tự ta có \(OE=OH\), mà \(OF=OE\Rightarrow OF=OE=OG=OH\)

\(\Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Áp dụng Talet: \(\frac{FG}{AD}=\frac{OF}{OA}\Rightarrow FG=\frac{AD.OF}{OA}=...\Rightarrow S_{EFGH}=EF.FG=...\)

Câu 2: 

a: sin DAC=0,8 nên cos DAC=0,6

=>AD/AC=3/5

=>AC=70mm=7cm

=>DC=5,6cm

\(DF=\dfrac{4.2\cdot5.6}{7}=3.36\left(cm\right)\)

sin AOD=sin DOF=DF/DO=3,36/3,5=24/25

b: Xét ΔOFD vuông tại F và ΔOEC vuông tại E có 

OD=OC

góc DOF=góc COE

Do đó: ΔOFD=ΔOEC

=>OF=OE

Vì OF/OA=OE/OB

nên FE//AB

=>FE//DC

OF=OE

OC=OD

=>FC=DE

=>FECD là hình thang cân

a) Xét ΔADC vuông tại D có 

\(\sin\widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(DC=\dfrac{4}{5}AC\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACD vuông tại D, ta được:

\(AC^2=AD^2+CD^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=42^2+\left(\dfrac{4}{5}AC\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{25}AC^2=1764\)

\(\Leftrightarrow AC^2=4900\)

hay AC=70(cm)

Ta có: \(DC=\dfrac{4}{5}AC\)(cmt)

nên \(DC=\dfrac{4}{5}\cdot70=56\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại D có DF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(DF\cdot AC=AD\cdot DC\)

\(\Leftrightarrow DF\cdot70=42\cdot56=2352\)

hay DF=33,6(cm)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)

mà O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD(gt)

nên \(DO=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

hay \(DO=\dfrac{70}{2}=35\left(cm\right)\)

Xét ΔDFO vuông tại F có 

\(\sin\widehat{DOF}=\dfrac{DF}{DO}=\dfrac{33.6}{35}=\dfrac{24}{25}\)

hay \(\sin\widehat{AOD}=\dfrac{24}{25}\)

b) Xét ΔDFO vuông tại F và ΔCEO vuông tại E có

OD=OC(cmt)

\(\widehat{FOD}=\widehat{EOC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDFO=ΔCEO(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: OF=OE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔOAB có 

\(\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{OE}{OB}\left(OF=OE;OA=OB\right)\)

nên FE//AB(Định lí Ta lét đảo)

mà AB//DC(gt)

nên FE//DC

Ta có: OE+OD=ED(O nằm giữa E và D)

OF+OC=FC(O nằm giữa F và C)

mà OE=OF(cmt)

và OD=OC(cmt)

nên ED=FC

Xét tứ giác CEFD có FE//CD(cmt)

nên CEFD là hình thang có hai đáy là FE và CD(Định nghĩa hình thang)

Hình thang CEFD(FE//CD) có ED=FC(cmt)

nên CEFD là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

b) Xét ΔDFO vuông tại F và ΔCEO vuông tại E có

OD=OC(cmt)

\(\widehat{FOD}=\widehat{EOC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDFO=ΔCEO(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: OF=OE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔOAB có 

\(\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{OE}{OB}\left(OF=OE;OA=OB\right)\)

nên FE//AB(Định lí Ta lét đảo)

mà AB//DC(gt)

nên FE//DC

Ta có: OE+OD=ED(O nằm giữa E và D)

OF+OC=FC(O nằm giữa F và C)

mà OE=OF(cmt)

và OD=OC(cmt)

nên ED=FC

Xét tứ giác CEFD có FE//CD(cmt)

nên CEFD là hình thang có hai đáy là FE và CD(Định nghĩa hình thang)

Hình thang CEFD(FE//CD) có ED=FC(cmt)

nên CEFD là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)