a) Xét ΔADC vuông tại D có
\(\sin\widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{4}{5}\)
nên \(DC=\dfrac{4}{5}AC\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔACD vuông tại D, ta được:
\(AC^2=AD^2+CD^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=42^2+\left(\dfrac{4}{5}AC\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{25}AC^2=1764\)
\(\Leftrightarrow AC^2=4900\)
hay AC=70(cm)
Ta có: \(DC=\dfrac{4}{5}AC\)(cmt)
nên \(DC=\dfrac{4}{5}\cdot70=56\left(cm\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại D có DF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(DF\cdot AC=AD\cdot DC\)
\(\Leftrightarrow DF\cdot70=42\cdot56=2352\)
hay DF=33,6(cm)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)
mà O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD(gt)
nên \(DO=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(DO=\dfrac{70}{2}=35\left(cm\right)\)
Xét ΔDFO vuông tại F có
\(\sin\widehat{DOF}=\dfrac{DF}{DO}=\dfrac{33.6}{35}=\dfrac{24}{25}\)
hay \(\sin\widehat{AOD}=\dfrac{24}{25}\)
b) Xét ΔDFO vuông tại F và ΔCEO vuông tại E có
OD=OC(cmt)
\(\widehat{FOD}=\widehat{EOC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDFO=ΔCEO(Cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: OF=OE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔOAB có
\(\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{OE}{OB}\left(OF=OE;OA=OB\right)\)
nên FE//AB(Định lí Ta lét đảo)
mà AB//DC(gt)
nên FE//DC
Ta có: OE+OD=ED(O nằm giữa E và D)
OF+OC=FC(O nằm giữa F và C)
mà OE=OF(cmt)
và OD=OC(cmt)
nên ED=FC
Xét tứ giác CEFD có FE//CD(cmt)
nên CEFD là hình thang có hai đáy là FE và CD(Định nghĩa hình thang)
Hình thang CEFD(FE//CD) có ED=FC(cmt)
nên CEFD là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
