a) xét tam giác ACL và tam giác AKB, ta có:

=> tam giác ALC ĐỒNG DẠNG tam giác AKB ( g-g)
=> AL = AC 
     AK     AB
=> ALA.AB=AK.AC
B) xét tam giác ABF vuông tại F có đường cao FL, ta có:
 AF²= AL.AB (HTL)
XÉT TAM GIÁC AEC VUÔNG TẠI E, CÓ ĐƯỜNG CAO EK, TA CÓ:
AE² AK.AC ( HTL)

TA CÓ: 

Tính chất cơ bản của tam giác với 3 đường cao: \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\) (bài toán quen thuộc chắc em tự c/m được)

\(\Rightarrow AF.AB=AE.AC\)

Trong tam giác vuông ABN với đường cao NF:

\(AN^2=AF.AB\)

Trong tam giác vuông ACM:

\(AM^2=AE.AC\)

\(\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)

b. Hệ thức lượng: \(BN^2=BF.AB\) ; \(CM^2=CE.AC\)

\(\Delta ABD\sim\Delta CBF\) (2 tam giác vuông chung góc B)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BD}{BF}\Rightarrow BF.AB=BD.BC\) (1)

Hoàn toàn tương tư, \(\Delta ADC\sim\Delta BEC\Rightarrow CE.AC=CD.BC\) (2)

Cộng vế (1) và (2) \(\Rightarrow BF.AB+CE.AC=\left(BD+CD\right)BC=BC^2\)

\(\Rightarrow BN^2+CM^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BN.CM\le\dfrac{1}{2}\left(BN^2+CM^2\right)=\dfrac{1}{2}BC^2=2a^2\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác cân tại A

Theo đề có: `ΔAMC` là Δ vuông, đường cao `MD`.

=> `AM^2=AD.AC` (1)

`ΔANB` là Δ vuông, đường cao `NE`:

=> `AN^2=AE.AB` (2)

Lại có: `ΔABD=ΔACE`(g.g)

=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\Leftrightarrow AB.AE=AC.AD\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3) suy ra: `AM=AD` (đpcm)

$HaNa$

b) ta có: AE/AF = AB/AC ( câu a )

=) AE×AC/AF= AB (1)

Xét tam giác ADB và tam giác CFB có:

Góc ADB= góc CFB

Chung góc ABC

=) Tam giác ADB đồng dạng với tam giác CFB (g-g)

=) BD/AF= AB/AC

(=) BD×BC/BF= AB (2)

Từ (1) và (2) =) cái đề ( đpcm )

hình chữ nhật có diện tích 36 cm2, chiều rộng là 3 cm.Hỏi hình chữ nhât đó có chiều dai gấp mấy lần chiều rộng?

a) Xét tam giác AEB và tam giác AFC có:

Góc AEB = góc AFC 

Chung góc BAC

=) Tam giác AEB đồng dạng với tam giác AFC (g-g)

=) AE/AF = AB/AC

(=) AE×AC = AB×AF (1)

Xét tam giác AMC và tam giác AEM có:

Góc AMC= góc AEM

Chung góc MAC

=) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác AEM (g-g)

=) AM^2 = AE×AC (2)

Chứng minh tương tự ta có AN^2 = AF×AB (3)

Từ (1); (2) và (3) =) AM^2 = AN^2

Lại có AM và AN là các cạnh của tam giác nên luôn dương

=) AM = AN =) tam giác AMN cân tại A

Ta có: \(\Delta AMC\) vuông tại M có \(MD\bot AC\Rightarrow AM^2=AD.AC\left(1\right)\)

 \(\Delta ANB\) vuông tại Ncó \(NE\bot AB\Rightarrow AN^2=AE.AB\left(2\right)\)

Ta có: \(\angle BEC=\angle BDC=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle ADE=\angle ABC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

\(\Rightarrow\angle AMN=\angle ANM\)