CMR : 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2 không âm với mọi x,y,z
Với x, y, z là số thực không âm, cmr (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)≤xyz
\(A=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\)
\(áp\) \(dụng\) \(bđt:\) \(\)\(AM-GM:a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x+y-z\right)^2\left(y+z-x\right)^2\left(z+x-y^2\right)=\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-z\right)\left(y+z-x\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+y+z-x\right)^2}{4}\le\dfrac{4y^2}{4}\le y^2\\\left(y+z-x\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(y+z-x+z+x-y\right)^2}{4}\le z^2\\\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\le\dfrac{\left(x+y-z+z+x-y\right)^2}{4}\le x^2\\\end{matrix}\right.\)
\(\)\(\Rightarrow A^2\le x^2y^2z^2\le\left(xyz\right)^2\Rightarrow A\le xyz\)
Chứng minh biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến:
\(N=4x\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+y+z\right)+y^2+z^2\)
bài 1 :CMR: x,y∈ Z thì A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4 là 1 số chính phương
Bài 2 : CMR: 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2 không âm với mọi x,y,z
bài 1.CM với mọi số nguyên x, y
thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4 là số chính phương
CM :
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4
<=> A = (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y^4
Đặt x² + 5xy + 5y² = t ( t Є Z)
=> A = (t - y²)( t + y²) + ^y4
=> A = t² –y^4 + y^4
=> A = t²
=> A = (x² + 5xy + 5y²)²
V ì x, y, z Є Z
=>
{ x² Є Z,
{ 5xy Є Z,
{ 5y² Є Z
=> x² + 5xy + 5y² Є Z
=> (x² + 5xy + 5y²)² là số chính phương.
Vậy A là số chính phương.
bài 2 chịu
may oi ko giai duoc
cho x,y,z không âm cmr : x(x-y)^2+y(y-z)^2>=(x-y)(y-z)(x+y-z)
Bài 3 : Cho x là số nguyên.Cmr :
B= x4 - 4x3 - 2x2 + 12x + 9 là bình phương số nguyên
Bài 4 : Cho x,y,z là số nguyên.Cmr :
C= 4x.(x + y).(x + y + z).(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Giúp mình nha.Mai là hạn cuối rồi!
Bài 3:
\(B=x^4-4x^3-2x^2+12x+9\)
\(=x^4-3x^3-x^3+3x^2-5x^2+15x-3x+9\)
\(=\left(x-3\right)\left(x^3-x^2-5x-3\right)\)
\(=\left(x-3\right)\left(x^3-3x^2+2x^2-6x+x-3\right)\)
\(=\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2-2x-3\right)^2\)
Bài 3:
\(B=x^4-4x^3-2x^2+12x+9=\left(x^4+x^3\right)-\left(5x^3+5x^2\right)+\left(3x^2+3x\right)+\left(9x+9\right)=\left(x^3-5x^2+3x+9\right)\left(x+1\right)=\left[\left(x^3+x^2\right)-\left(6x^2+6x\right)+\left(9x+9\right)\right]\left(x+1\right)=\left(x^2-6x+9\right)\left(x+1\right)^2=\left(x-3\right)^2\left(x+1\right)^2=\left[\left(x-3\right)\left(x+1\right)\right]^2\)
Cho các số x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=1. CMR: x+2y+z\(\ge\)4(1-x)(1-y)(1-z)
Đặt \(a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)
Thì \(\Rightarrow a+b+c=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\)\(x+y+z=1\)
Bất đẳng thức đã tương đương với \(x+2y+z\ge4\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)\)
\(\Rightarrow a+b\ge16abc\)
Ta có: \(\left(a+b\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(a+b\right).4c\left(a+b\right)\ge16abc\left(đpcm\right).\)
Ta có:
\(x\ge0,y\ge0,z\ge0\) và \(x+y+z=1\)
\(\Rightarrow0\le y\le1\)
Ta lại có:
\(4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
Aps dụng BĐT: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Ta được: \(4\left(y+z\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\)
Nên: \(4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)^2\left(1-y\right)\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le\left(1+y\right)\left(1-y\right)^2\)
Mà \(\left(1-y\right)^2\le1\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le1+y\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+y+z+y\)
\(\Rightarrow4\left(y+z\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x+2y+z\left(đpcm\right)\)
CMR biểu thức sau luôn dương với mọi x y z
x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+10
Có : x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+10
= (x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)+(z^2-4x+4)+1
= (x+2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2+1 >= 1
=> (x+2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2 luôn dương với mọi x,y,z
\(x^2+y^2+z^2+4x-2y-4z+10\)
\(=\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-4z+4\right)+1\)
\(=\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2+1\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x+2\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2+1>0\)
\(\Rightarrow\)\(đpcm\)
Cho x,y,z là các số thực không âm và đôi một phân biệt . CMR :
\(\frac{x+y}{\left(x-y\right)^2}+\frac{y+z}{\left(y-z\right)^2}+\frac{z+x}{\left(z-x\right)^2}\ge\frac{9}{x+y+z}\)