Tìm GTNN của biểu thức:
A=\( \left(\left|x-3\right|+2\right)^2\)+|y+3|+2018
Với x,y là các số không âm.
x, y là 2 số không âm thay đổi. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
\(F=\frac{\left(x-y\right)\left(1-xy\right)}{\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2}\)
Cho x,y,z là các số thực không âm . Tìm GTNN \(P=x^3+y^3+z^3-3xyz+4\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)
Cho x, y là các số thực không âm. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
đặt \(a=x^2,b=y^2\left(a,b\ge0\right)\)thì \(P=\frac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
Zì \(a,b\ge0\)nên
\(\left(a-b\right)\left(1-ab\right)=a-a^2b-b+ab^2\le a+ab^2=a\left(1+b^2\right)\le a\left(1+2b+b^2\right)=a\left(1+b\right)^2\)
Lại có \(\left(1+a\right)^2=\left(1-a\right)^2+4a\ge4a\)
=>\(P\le\frac{a\left(1+b\right)^2}{4a\left(1+b\right)^2}=\frac{1}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)
zậy \(maxP=\frac{1}{4}khi\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}\)
CHo x,y là các số thực không âm Tím max của biểu thức
\(P=\dfrac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
\(\left(x^2;y^2\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow P=\dfrac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(1+ab\right)-\left(a-b\right)\left(1-ab\right)=2b\left(a^2+1\right)\ge0;\forall a;b\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge\left(a-b\right)\left(1-ab\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\le\dfrac{\left(a+b+1+ab\right)^2}{4\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(P_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;0\right)\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
\(P=\dfrac{\left[\left(x-y\right)\left(1+xy\right)\right]\left[\left(x+y\right)\left(1-xy\right)\right]}{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\left(x-y\right)\left(1+xy\right)\le\dfrac{\left(x-y\right)^2+\left(1+xy\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{2}\\ \left(x+y\right)\left(1-xy\right)\le\dfrac{\left(x+y\right)^2+\left(1-xy\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{2}\)
\(\to P\le\dfrac{\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}{4\left(1+x^2\right)^2\left(1+y^2\right)^2}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
cho x,y,z là ba số không âm thỏa mãn:
\(x^2+y^2+z^2\le3y\)
Tìm GTNN của :
\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{4}{\left(y+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)
Cần chứng minh \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\forall a;b>0\)
Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Mà \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\) (đpcm)
Áp dụng ta được :
\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{y}{2}+1\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\ge\frac{8}{\left(x+\frac{y}{2}+2\right)^2}+\frac{8}{\left(z+3\right)^2}\)
\(\ge\frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5\right)^2}\)
Ta có : \(\left(x^2+1\right)+\left(y^2+4\right)+\left(z^2+1\right)\ge2x+4y+2z\)
\(\Leftrightarrow3y+6\ge2x+4y+2z\Rightarrow6\ge2x+y+2z\)
\(\Rightarrow x+\frac{y}{2}+z\le3\)\(\Rightarrow P\ge\frac{64}{\left(3+5\right)^2}=1\)
Vậy Min P = 1 Tại \(x=1;y=2;z=1\)
em ko hiểu mọi người thích cái người ? tk cho mà lại thích nhỉ
em thì thích OLM lựa chọn để có điểm cơ như thế mới có điểm .
Tìm gtnn của biểu thức \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
Trong đó x, y là số thực lớn hơn 1
Sử dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(P=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-8\left(x+y\right)+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)^2\ge0\)( ĐPCM )
Có : \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
Theo BĐT Cô - si ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4x\)
\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)
Do đó ; \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4.\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\)
Hay : \(P\ge8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)
Vậy \(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)
Tính giá trị của biểu thức:
a) \(3{x^2}y - \left( {3xy - 6{x^2}y} \right) + \left( {5xy - 9{x^2}y} \right)\) tại \(x = \frac{2}{3}\), \(y = - \frac{3}{4}\)
b) \(x\left( {x - 2y} \right) - y\left( {{y^2} - 2x} \right)\) tại \(x = 5\), \(y = 3\)
`a, = 3x^2y - 3xy + 6x^2y + 5xy - 9x^2y`
`= 2xy`.
Thay `x = 2/3; y = -3/4` vào BT:
`2 . 2/3 . -3/4 = -1.`
`b, x(x-2y) - y(y^2-2x)`
`= x^2 - 2xy - y^3 + 2xy`
`= x^2 - y^3`
Thay `x = 5; y =3` vào BT:
`= 5^2 - 3^3 = 25 - 27 = -2`
a) \(3x^2y-\left(3xy-6x^2y\right)+\left(5xy-9x^2y\right)\)
\(=3x^2y-3xy+6x^2y+5xy-9x^2y\)
\(=2xy\)
Thay \(x=\dfrac{2}{3},y=-\dfrac{3}{4}\) vào Bt ta có:
\(2\cdot\dfrac{2}{3}\cdot-\dfrac{3}{4}=-1\)
b) \(x\left(x-2y\right)-y\left(y^2-2x\right)\)
\(=x^2-2xy-y^3+2xy\)
\(=x^2-y^3\)
Thay \(x=5,y=3\) vào Bt ta có:
\(5^2-3^3=-3\)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn:5x+3y=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A = \(\sqrt{x^2+\left(y+2\right)^2}+\sqrt{x^2+\left(y-4\right)^2}\)
Cho biểu thức A= \(\frac{\left(x^2+y\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)+x^2y^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{1}{3}\right)}{x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)}\)
a) Tìm đkxđ A
b) Chứng minh A không phụ thuộc vài x
c) Tìm GTNN của A
\(A\)xác định \(\Leftrightarrow x^2y^2+1+\left(x^2-y\right)\left(1-y\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+1+x^2-x^2y-y+y^2\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)-\left(x^2y+y\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(x^2+1\right)+\left(x^2+1\right)-y\left(x^2+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-y+1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\forall x\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]>0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ne0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow A\ne0\forall x;y\)