Bài 1 là chia cho 8 thì dư 4 nhé. Mk đánh thiếu !

1.

Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-a+a\)

\(S=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)

Vì mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 do là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow S\) chia 6 dư a

Mà \(1995\equiv3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{1995}\equiv3\left(mod6\right)\)

Vậy S chia 6 dư 3

2.

\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left(B\left(25\right)-1\right)^{10}=B\left(25\right)+1\)

Vì 2¹⁰⁰ chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chẵn nên có thể là 126; 376; 626; 876

Lại có 2¹⁰⁰ chia hết cho 8 => ba chữ số tận cùng chi hết cho 8

=> Ba CTSC là 376

3.

\(22^{22}+55^{55}=\left(BS7+1\right)^{22}+\left(BS7-1\right)^{55}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(3^{1993}=3\cdot\left(3^3\right)^{664}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{664}=3\left(BS7+1\right)=BS7+3\) nên chia 7 dư 3

\(1992^{1993}+1994^{1995}=\left(BS7-3\right)^{1993}+\left(BS7-1\right)^{1995}=BS7-3^{1993}+BS7-1=BS7-\left(BS7+3\right)+BS7-1=BS7-4\) chia 7 dư 3

\(3^{2^{1930}}=3^{2860}=3\cdot\left(3^3\right)^{953}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{953}=3\left(BS7-1\right)=BS7-3\) chia 7 dư 4

4.

\(2^{1994}=2^2\cdot\left(2^3\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)=BS7+4\) chia 7 dư 4

\(3^{1998}+5^{1998}=\left(3^3\right)^{666}+\left(5^2\right)^{999}=\left(BS7-1\right)^{666}+\left(BS7-1\right)^{999}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+99\right)^2=B^2⋮B\)

CM bằng quy nạp (có trên mạng)

a) Dư 3

b) Dư 7

a)

\(3^{1993}:7\)

Ta có:

\(3\equiv3mod\left(7\right)\)

\(3^3\equiv6mod\left(7\right)\)

\(3^9\equiv6^3\equiv6mod\left(7\right)\)

\(3^{10}\equiv6.3\equiv4mod\left(7\right)\)

\(3^{90}\equiv1^3\equiv1mod\left(7\right)\)

\(3^{100}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(3^{900}\equiv4^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(3^{1000}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(3^{1993}\equiv4.1.1.6\equiv3mod\left(7\right)\)

Vậy số dư của \(3^{1993}\) khi chia cho \(7\) là 3

b)

\(1992^{1993}+1994^{1995}\) \(:7\)

Ta có:

\(1992\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^3\equiv4^3\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1992^9\equiv1^3\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1992^{10}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^{90}\equiv4^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1992^{100}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^{900}\equiv4^9\equiv1\)\(mod\left(7\right)\)

\(1992^{1000}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^{1993}\equiv4.1.1.1\equiv4mod\left(7\right)\)

Ta có:

\(1994\equiv6mod\left(7\right)\)

\(1994^5\equiv6^5\equiv6mod\left(7\right)\)

\(1994^{10}\equiv6^2\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{90}\equiv1^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{100}\equiv1.1\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{900}\equiv1^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{1000}\equiv1.1\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{1995}\equiv1.1.1.6\equiv6mod\left(7\right)\)

Ta có:

\(1992^{1993}+1994^{1995}\)\(=4+6\equiv3mod\left(7\right)\)

Vậy \(1992^{1993}+1994^{1995}\)chia cho 7 có số dư là 3

Chúc bạn học tốt!

gọi số tự nhiên đó là a
Vì a chia 3 dư 2, chia 5 dư 1 nên:
=> a+2 chia hết cho 3
a+1 chia hết cho 5
=> a+4 chia hết cho 3 và 5
=> a+4 là bội của 3 và 5
BCNN của 3 và 5 là : 3x5=15
=> a+4 chia hết cho 15
=> a chia 15 thì dư 4
Đúng thì tick !

Áp dụng định lý Bê-du; ta tìm được số dư là :

\(1^{1994}+1^{1993}+1=3\)

Vậy ...

Ta co the chia vao 997 cap , thua 1 so la so 997

Tong 2 so trong cap co tan cung la 5

Vay 997 cap co tan cung la 5 

Ta thay 5 + 997 co tan cung la 6

Vay tong a chia het cho 2 nhung ko chia het cho 5