\(\sqrt{121}=?\)
Sắp xếp từ nhỏ đến lớn:\(\frac{1}{\sqrt{121}};\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{12321}};...:\frac{\sqrt{123456787654321}}{\sqrt{12345678987654321}}\)
Tính tổng:
\(S=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
Tổng quát:
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)\(=\dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)\(=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{10}{11}\)
Ta có công thức tổng quát như sau:
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left[\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}\right]\left[\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}\right]}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)^2-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n}}{n}-\dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào tổng S ta có:
\(S=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
\(S=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{120}}+\dfrac{1}{\sqrt{121}}\)
\(S=1-\dfrac{1}{\sqrt{121}}=1-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}\)
Sắp xếp các số sau từ nhỏ đến lớn:\(\frac{1}{121};\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{12321}};...;\frac{\sqrt{123456787654321}}{\sqrt{12345678987654321}}\)
S=\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
\(S=\sum\limits^{121}_2\left(\dfrac{1}{x\sqrt{\left(x-1\right)}+\left(x-1\right)\sqrt{x}}\right)\)
\(S=0,9090909091\)
Hướng dẫn :v Hãy chứng minh công thức tổng quát này rồi áp dụng vào bài :v
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)(\(\forall n\in\)N*)
Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
Với \(k\in N;k\ne0\) ta có :
\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}+k\sqrt{\left(k+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)
Áp dụng ta có :
\(M=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{120}}-\frac{1}{\sqrt{121}}=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}\)
Rút gọn biểu thức
A=\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{121\sqrt{120}+120\sqrt{121}}\)
Xét số hạng tổng quát:\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{120}}-\dfrac{1}{\sqrt{121}}\)
\(A=1-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}\)
\(\sqrt{361}+\sqrt{121}+\sqrt{100}=?\)
\(\sqrt{361}+\sqrt{121}+\sqrt{100}\)
\(=19+11+10\)
\(=30+10\)
\(=40\)
\(k\) \(nha\)
\(\sqrt{361}+\sqrt{121}+\sqrt{100}=40\)
\(S=\dfrac{4+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}+\dfrac{8+\sqrt{15}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{240+\sqrt{14399}}{\sqrt{119}+\sqrt{121}}\)
Biểu thức S có dạng: S = 4 + √31 + √3 + 8 + √15√3 + √5 + ... + 240 + √14399√119 + √121
Đặt a = √3, b = √5, c = √7, d = √9, ...
Khi đó, dãy S có thể viết lại dưới dạng: S = 4 + a^2 + a + 8 + ab + b + ... + 240 + abcd + cd + √121
Dãy con thứ nhất: 4 + a^2 + a + 8 Tổng của dãy con này là 12 + a^2 + a.
Dãy con thứ hai: ab + b Tổng của dãy con này là b(a + 1).
Dãy con thứ ba: ... Tiếp tục tương tự cho các dãy con tiếp theo.
Cuối cùng, ta sẽ có công thức tổng quát cho dãy S: S = (12 + a^2 + a) + b(a + 1) + c(b + 1) + d(c + 1) + ... + 240 + abcd + cd + √121
\(\sqrt{121}+\sqrt{\left(-5\right)^2}+\sqrt{9}\)
Ta có:
\(A=\sqrt{121}+\sqrt{\left(-5\right)^2}+\sqrt{9}\)\(=\sqrt{11^2}+\left|-5\right|+\sqrt{3^2}\)
\(=11+5+3=19\)
\(\sqrt{361}+\sqrt{121^2}=?\)
\(\sqrt{361=19}\)
\(\sqrt{121^2=121}\)
Vaayj \(\sqrt{361}+\sqrt{121^2=}19+121=140\)
\(\sqrt{361}+\sqrt{121^2}\)
\(=19+121\)
\(=140\)
\(k\)\(nha\)
=140 nhaaa
k nhaa nan ni bn do