\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)

BĐT tương đương:

\(3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+6\right]\)

\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[15-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(2abc+3\right)\ge15abc\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2abc+3\right)^2\ge225\left(abc\right)^2\)

Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(2abc+3\right)^2\ge25abc\)

\(\Leftrightarrow\left(1-abc\right)\left(9-4abc\right)\ge0\) (luôn đúng với \(0< abc\le1\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai, 
a,b,c là 3 số dương.

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).

Vậy điều giả sử trên là sai, 
Do đó a,b,c là 3 số dương.

Lời giải:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$a-b=b-c=c-a=0$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$

Khi đó:

$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$ 

Ta có đpcm.

Đề bài yêu cầu : Chứng minh rằng cả ba số a,b,c đều là số dương.

Giải như sau : 

Vì abc>0 nên trong ba số a,b,c phải có ít nhất một số dương. (Giả sử ngược lại cả 3 số đều âm => abc<0 => vô lí)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a>0 , mà abc>0 => bc>0

Nếu b<0 , c<0 => b+c<0

Từ a+b+c>0 => b+c>-a => \(\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)

                       => \(b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)

                       => \(ab+bc+ca< -b^2-bc-c^2\)

                       => \(ab+bc+ca< 0\) (vô lí vì trái với giả thiết)

Vậy phải có b>0 và c>0. Suy ra cả ba số a,b,c đều dương.

abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c thuộc N*

Giả sử : Cả 3 số a,b,c đều âm , suy ra abc < 0 ( trái gt )

=> Có ít nhất một số dương trong 3 số a,b,c

Do a,b,c bình đẳng, không mất tính tổng quát :

Giả sử : \(a>0\), mà \(abc>0,\) suy ra \(bc>0\)

\(TH1:b< 0;c< 0\), suy ra : \(b+c< 0\)

Mà : \(a+b+c>0\left(gt\right)\) \(\Rightarrow b+c>-a\)

Do : \(b+c< 0\), suy ra : \(\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc< -b^2-2bc-c^2+bc\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< -b^2-bc-c^2=-\left(b^2+bc+c^2\right)\)

Do : \(b^2+c^2\ge0;bc>0\)

\(\Rightarrow b^2+bc+c^2>0\)

\(\Rightarrow-\left(b^2+bc+c^2\right)< 0\)

Mà : \(ab+bc+ac< -\left(b^2+bc+c^2\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< -\left(b^2+bc+c^2\right)< 0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac< 0\)( trái giả thiết : ab + bc + ac > 0 )

Suy ra : b <0, c< 0 ( vô lý )

\(\Rightarrow b,c>0\Rightarrow a,b,c>0\Rightarrow a,b,c\inℕ^∗\left(đpcm\right)\)

#the loster# dòng thứ 8 sai kìa, từ gt : a+b+c <0 ???

Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng: 

\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.

Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.