Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\).

Khi đó ta có:

\(VT=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x}+\dfrac{k}{y}+\dfrac{k}{z}}=\sqrt[3]{k\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\).

\(VP=\sqrt[3]{\dfrac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\dfrac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{k}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\).

Từ đó ta có đpcm.

Ta có: ax³ = \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}\)

Tương tự ta có: ax³ = by³ = cz³ 

hay \(\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}\) = ax² + by² + cz² (T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)

= \(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)  (đpcm)

Chúc bn học tốt!

Bài này hình như có lần làm rồi :))

Đặt `ax^3=by^3=cz^3=k^3`

`=>a=k^3/x^3,b=k^3/y^3,c=k^3/z^3`

`=>root{3}{a}+root{3}{b}+root{3}{c}=k/x+k/y+k/z=k(1/x+1/y+1/z)=k(1)`

`**:ax^2+by^2+cz^2=(ax^3)/x+(by^3)/y+(cz^3)/z=k^3/x+k^3/y+k^3/z=k^3(1/x+1/y+1/z)=k^3`

`=>root{3}{ax^2+by^2+cz^2}=k(2)`

`(1)(2)=>ĐPCM`

Từ giả thiết 1, ta suy ra:

\(ax^2=\dfrac{by^3}{x}=\dfrac{cz^3}{x}\)

\(by^2=\dfrac{cz^3}{y}=\dfrac{ax^3}{y}\)

\(cz^2=\dfrac{ax^3}{z}=\dfrac{by^3}{z}\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=ax^3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=ax^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\dfrac{1}{x}\left(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\right)=\sqrt[3]{a}\)(1)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{y}\left(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\right)=\sqrt[3]{b}\)(2)

\(\dfrac{1}{z}\left(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}\right)=\sqrt[3]{c}\)(3)

Cộng các đẳng thức (1),(2),(3) vế theo vế, ta được điều phải chứng minh

\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)

=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)

\(=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)

Vay \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\)\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)

Ta có \(ax^3=by^3=cz^3\Leftrightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\Leftrightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}+\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)Vậy \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\) thì \(a=\frac{k^3}{x^3};b=\frac{k^3}{y^3};c=\frac{k^3}{z^3}\)

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k\)

Mặt khác : \(ax^2+by^2+cz^2=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}=\frac{k^3}{x}+\frac{k^3}{y}+\frac{k^3}{z}=k^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=k\)

Do đó , ta có đpcm

\(\sin90\)

ĐẶT: T= \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)
tuowng tự ta đc \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{T}{x}+\frac{T}{y}+\frac{T}{z}=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\left(dpcm\right)\)

cám ơn  bạn nha!

Đặt:  \(ax^3=by^3=cz^3=k\)    và do    \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)  nên

\(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)

\(=\sqrt[3]{k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\)

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}\)

\(=\sqrt[3]{k}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\sqrt[3]{k}\)

suy ra:đpcm

Đặt \(Q=\sqrt[3]{ax^{2\:}+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)

\(=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{ax^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{ax^{3\:}}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{Q}{x}\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b}=\frac{Q}{y}\\\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{z}\end{cases}}\)

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{x}+\frac{Q}{y}+\frac{Q}{z}=Q\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=Q\)

Vậy....

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(ax^2+by^2+cz^2=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)

\(\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot ax^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}\cdot by^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z}\cdot cz^2}\right)^3\)

\(=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3=VP\)

Do \(ax^2=by^2=cz^2\) nên đẳng thức có xảy ra 

Thắng Nguyễn - Trang của Thắng Nguyễn - Học toán với OnlineMath cosi chỉ dùng cho số không âm thôi nhé. Ở đây không có cho x, y, z, a, b, c không âm nha. Nên không dùng cosi được nhé.