Đặt \(2018=a\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}=\sqrt{1+a^2+\frac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\frac{a}{a+1}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}}+\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+a+1}{a+1}+\frac{a}{a+1}=\frac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1=2019\)

ta xét : \(\sqrt{a^2+b^2+\frac{a^2}{\left(\frac{a}{b}+1\right)^2}}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-2.\left(a+b\right).\frac{ab}{a+b}+\frac{a^2b^2}{\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\left(a+b-\frac{ab}{a+b}\right)^2}=\left|a+b-\frac{ab}{a+b}\right|\)

áp dụng vào bài toán :

\(A=\left|1+2018-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019\)

Ta có: \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{\left(k+1\right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k\left(k+1\right)^2-k^2\left(k+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k^3+2k^2+k-k^3-k^2}\)

\(=\frac{\sqrt{k\left(k+1\right)}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{k\left(k+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)

Lần lượt thay k=1;2;...;2018 ta được:

\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

...

\(\frac{1}{2019\sqrt{2018}+2018\sqrt{2019}}=\frac{1}{\sqrt{2018}}-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(C=1-\frac{1}{\sqrt{2019}}=...\)

Với mọi \(n\inℕ^∗\) ta có:

 \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n-1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n-1}}\)

Áp dụng đẳng thức trên ta có:

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2018}}-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)

\(=1-\frac{1}{\sqrt{2019}}\)

   \(t\text{ổng}qu\text{át}:\frac{1}{n\sqrt{n-1}+\left(n-1\right)\sqrt{n}}=\frac{n\sqrt{n-1}-\left(n-1\right)\sqrt{n}}{n^2\left(n-1\right)-\left(n-1\right)^2n}\)

\(=\frac{n\sqrt{n-1}-\left(n-1\right)\sqrt{n}}{\left(n-1\right)n}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\)

Thay vào A có

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-...+\frac{1}{\sqrt{2016}}-\frac{1}{\sqrt{2017}}\)

\(=1-\frac{1}{\sqrt{2017}}\)

Căn bậc 2 của 1 là 1,của 2018 bình phương là 2018,2018 bình phương/2019 bình phương là 2018/2019 nên cái căn đó có giá trị là 1+2018+2018/2019 nha.bn lấy 2018/2019+2018/2019 nếu là số tự nhiên thì biểu thức này là STN

\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(1+2.2018+2018^2\right)-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{2019^2-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(2019-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\left|2019-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\) là số tự nhiên ( đpcm ) 

... 

:v nãy giải xong thì bị lỗi please signing gì đó...(giải rất kĩ càng,lần này ko giải kĩ nx  -_-)

Đặt a = 2018 -> 2019 = a + 1..

Gọi biểu thức trên là A.Quy đồng biểu thức trong căn và rút gọn,ta được:

\(A=\sqrt{\frac{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}{\left(a+1\right)^2}}+\frac{a}{a+1}\)

Đặt \(B=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(=a^2\left(a^2+2a+3+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}\right)\)

\(=a^2\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+2\left(a+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)

\(=\left[a\left(a+\frac{1}{a}+1\right)\right]^2\) (Làm tắt xíu nhé)

Suy ra \(A=\frac{\left(a+\frac{1}{a}+1\right)a}{\left(a+1\right)}+\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+2a+1}{a+1}=\frac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1=2019\)

Là số tự nhiên.(đpcm)