Điều phải CM đúng với n = 1 , khi đó , ta có :

16¹ - 15.1 - 1 = 0 ⋮225

Gỉa sử điều phải CM đúng với : n = k , ta có :

16^k - 15.k - 1 ⋮225

Ta CMR điều phải CM cũng đúng với n = k + 1 , Ta có :

16^k+1 - 15( k + 1) - 1

= 16.16^k - 15k - 15 - 1 = ( 16^k - 15k - 1) + 15.16^k - 15

( Vì 16.16^k = ( 15 + 1)16^k = 16^k + 15.16^k )

Theo giả thiết trên thì : 16^k - 15^k - 1 ⋮ 225

Còn : 15.16^k - 15 = 15( 16^k - 1)

Mà : 16^k - 1 ⋮( 16 - 1)

⇒15( 16^k - 1) ⋮ 15.15 = 225

⇒ đpcm

Giải:

Với n=1 thì 16ⁿ – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 ⋮ 225

Giả sử 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Ta chứng minh 16^k+1 – 15(k+1) – 1 ⋮ 225

Thực vậy: 16^k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16^k – 15k – 15 – 1

= (16^k – 15k – 1) + 15.16^k – 15

Theo giả thiết qui nạp 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Còn 15.16^k – 15 = 15(16^k – 1) ⋮ 15.15 = 225

Vậy 16ⁿ – 15n – 1 ⋮ 225.

Mình sẽ sử dụng hằng đẳng thức sau để chứng minh:

xⁿ-yⁿ= (x-y)(x^n-1 +

x^n-2y+....+ y^n-1) với mọi n € N

Ta có: 16ⁿ -15n-1

= (16ⁿ-1) -15n

= (16-1)(16^n-1+ ...+1)-15n

= 15(16^n-1+...+1-n)

Vì 15 chia hết cho 15

Và biểu thức trong ngoặc chia hết cho 15 nên 16ⁿ-15n-1 chia hết cho 225 (đpcm)

Đặ Un=16^n-15n-1=225

Gỉa sử ta có Un chia hết cho 225 với n bằng một giá trị k bất kì (k>=1) tức là Uk=16^k-15k-1 chia hết cho 225

Do đó ta cần chứng minh tiếp U[k+1]=16^k+1-15k-1 chia hết cho 225 là ok

Nên ta có tiếp 16^(k+1)-15(k+1)-1=16^16k-15k-15-1=16^k-15k-1+15*16^k-15=Uk+15+(16^k-1)*(1) do đó nên ta đã có Uk chia hết cho 225.Rồi ta chỉ cần chứng minh cho 16^k-1 chia hết cho 15 là được

Em thử quy nạp nhé!

Với n = 1 thì mệnh đề đúng

Giả sử đúng với n = k thuộc N* tức là \(16^k-15k-1⋮225\) (giả thiết quy nạp)

Cần chứng minh nó đúng với n = k + 1. Tức là chứng minh \(16^{k+1}-15\left(k+1\right)-1⋮225\)

\(\Leftrightarrow16^k.16-15k-16⋮225\)

\(\Leftrightarrow16\left(16^k-15k-1\right)+15.15k⋮225\) (luôn đúng theo giả thiết quy nạp)

Ta có đpcm

n nguyên dương nên \(n\ge1\)

+) Xét n = 1 thì \(16^n-15n-1=0⋮225\)

Như vậy thì khẳng định đúng với n = 1

+) Giả sử khẳng định đúng với n = t tức là \(16^t-15t-1⋮225\)

Ta chứng minh khẳng định đúng với n = t + 1

Thật vậy: \(16^{t+1}-15\left(t+1\right)-1=16^t\left(15+1\right)-15t-15-1\)

\(=\left(16^t-15t-1\right)+15\left(16^t-1\right)\)

Ta có: \(16^t-1⋮16-1=15\)suy ra \(15\left(16^t-1\right)⋮225\)

Mà \(\left(16^t-15t-1\right)⋮225\)(Theo giả sử) nên \(16^{t+1}-15\left(t+1\right)-1⋮225\)

Vậy \(16^n-15n-1⋮225\forall n\inℕ^∗\)

Gọi T(n) là mệnh đề cần chứng minh

*Khi n=1, ta có: \(16^1-15.1-1=0\) chia hết cho 225. Vậy T(1) đúng.

* Giả sử T(k) đúng tức là \(16^k-15k-1\) chia hết cho 225

* Chứng minh T(k+1) đúng tức là chứng minh

\(16^{k+1}-15\left(k+1\right)-1\) chia hết cho 225

Ta có: \(16^{k+1}-15\left(k+1\right)-1=16^k.16-15k-16\)

Vì: \(16^k-15k-1=n.225\)(vì chia hết cho 225)

\(\Rightarrow16^k=225n+15k+1\)

Do đó: \(16^{k+1}-15\left(k+1\right)-1=16\left(225n+15k+1\right)-15k-16=225\left(16n+k\right)\) là bội số của 225

Hay \(16^{k+1}-15\left(k+1\right)-1\) chia hết cho 225

Vậy T(k+1) đúng

Theo nguyên lí quy nạp, ta kết luận T(n) đúng với mọi n \(\in N\)