Question

CMR : ( 16ⁿ - 15n - 1) chia hết 225

Answer 1

Điều phải CM đúng với n = 1 , khi đó , ta có :

16¹ - 15.1 - 1 = 0 ⋮225

Gỉa sử điều phải CM đúng với : n = k , ta có :

16^k - 15.k - 1 ⋮225

Ta CMR điều phải CM cũng đúng với n = k + 1 , Ta có :

16^k+1 - 15( k + 1) - 1

= 16.16^k - 15k - 15 - 1 = ( 16^k - 15k - 1) + 15.16^k - 15

( Vì 16.16^k = ( 15 + 1)16^k = 16^k + 15.16^k )

Theo giả thiết trên thì : 16^k - 15^k - 1 ⋮ 225

Còn : 15.16^k - 15 = 15( 16^k - 1)

Mà : 16^k - 1 ⋮( 16 - 1)

⇒15( 16^k - 1) ⋮ 15.15 = 225

⇒ đpcm

Answer 2

Giải:

Với n=1 thì 16ⁿ – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 ⋮ 225

Giả sử 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Ta chứng minh 16^k+1 – 15(k+1) – 1 ⋮ 225

Thực vậy: 16^k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16^k – 15k – 15 – 1

= (16^k – 15k – 1) + 15.16^k – 15

Theo giả thiết qui nạp 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Còn 15.16^k – 15 = 15(16^k – 1) ⋮ 15.15 = 225

Vậy 16ⁿ – 15n – 1 ⋮ 225.

Answer 3

Mình sẽ sử dụng hằng đẳng thức sau để chứng minh:

xⁿ-yⁿ= (x-y)(x^n-1 +

x^n-2y+....+ y^n-1) với mọi n € N

Ta có: 16ⁿ -15n-1

= (16ⁿ-1) -15n

= (16-1)(16^n-1+ ...+1)-15n

= 15(16^n-1+...+1-n)

Vì 15 chia hết cho 15

Và biểu thức trong ngoặc chia hết cho 15 nên 16ⁿ-15n-1 chia hết cho 225 (đpcm)