Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thiện Minh

a) Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR: \(a^2-1\) chia hết cho 24

b) CMR: nếu a và b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(a^2-b^2\) chia hết cho 24

c) Tìm điều kiện của số tự nhiên a để \(a^4-1\) chia hết cho 240

Akai Haruma
5 tháng 7 2019 lúc 11:38

Bài 1:

$a^2-1=(a-1)(a+1)$

Vì $a$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $a$ không chia hết cho $3$. Suy ra $a$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$

Nếu $a$ chia $3$ dư $1\Rightarrow a-1\vdots 3\Rightarrow a^2-1=(a-1)(a+1)\vdots 3$

Nếu $a$ chia $3$ dư $2\Rightarrow a+1\vdots 3\Rightarrow a^2-1=(a-1)(a+1)\vdots 3$

Vậy $a^2-1\vdots 3(1)$

Mặt khác, $a$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $a$ lẻ. Do đó $a$ có dạng $4k+1$ hoặc $4k+3$ ($k\in\mathbb{Z}$)

Nếu \(a=4k+1\Rightarrow a^2-1=(4k+1)^2-1=16k^2+8k\vdots 8\)

Nếu \(a=4k+3\Rightarrow a^2-1=(4k+3)^2-1=16k^2+24k+8\vdots 8\)

Vậy $a^2-1\vdots 8(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $a^2-1\vdots 24$ (đpcm)

Akai Haruma
5 tháng 7 2019 lúc 11:48

Bài 2:

Từ bài 1 ta thấy rằng với mọi số $a$ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $a^2-1\vdots 24(1)$

Tương tự $b^2-1\vdots 24(2)$

Từ \((1);(2)\Rightarrow (a^2-1)-(b^2-1)\vdots 24\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2\vdots 24\) (đpcm)

Bí Mật
19 tháng 10 2019 lúc 15:06

1) vì a>3 nên a có dạng a=3k+1 hoặc a=3k+2
với a=3k+1 thì a^2-1=(a+1)(a-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3
với a=3k+2 thì a^2-1=(a+1)(a-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3
vậy với mọi số nguyên tố a>3 thì a^2-1 chia hết cho 3 (1)
mặt khác cũng vì a>3 nên a là số lẻ =>a+1,a-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>trong hai sô a+1,a-1 tồn tại một số là bội của 4
=>a^2-1 chia hết cho 8 (2)
từ (1) và (2) => a^2-1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố a>3
=> đpcm

2) Vì :
a^2; b^2 là số chính phương
a,b không chia hết cho 3
Nên a^2; b^2 chia 3 dư 1
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3 (1)
Ta có :
(a^2 - 1) - (b^2 - 1) = (a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1) chia hết cho 8 (2)
Vì :
(a - 1); (a + 1)(a - 1); (a + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
(b - 1); (b + 1)(b - 1), (b + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
Từ (1), (2)
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3.8
=> a^2 - b^2 chia hết cho 24

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Đặng Thị Hông Nhung
Xem chi tiết
Vân Khánh
Xem chi tiết
Tuan Minh Do Xuan
Xem chi tiết
Mai Thanh Hoàng
Xem chi tiết
Lâm Hoàng Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Vân Khánh
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Đỗ Đạt
Xem chi tiết
Lâm Tố Như
Xem chi tiết