Đặt vế trái BĐT là P

Ta có:

\(\left(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}\right)\left(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

\(\Rightarrow P.\left(2ab+2bc+2ca\right)\ge1\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

1) Với x > 0 ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge\dfrac{2x}{x}\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(\text{vì }x>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall x>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\). Vậy BĐT được chứng mình với x > 0.

1: Áp dụng Bđt cosi, ta được:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\)

2a) 

Có \(abcd=1\Rightarrow ab=\dfrac{1}{cd}\)

Áp dụng BĐT vừa chứng mình ở bài 1, ta có:

\(cd+\dfrac{1}{cd}\ge2\Leftrightarrow ab+cd\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow cd=1\)

Vậy BĐT được chứng minh với a,b,c,d > 0 thỏa mãn abcd = 1.

Ta chứng minh với a,b > 0 thì : \(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow2ab\left(a^4+b^4\right)\ge ab\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+ba^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Gọi biểu thức là A

Ta có : \(A\ge\frac{1}{2}.\left(2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=1\)

Có thể xem thêm cách khác trong câu hỏi tương tự 

Dễ dàng CM đc: \(\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)

Andddd \(ab+bc+ca=abc\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

\(\Sigma\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}\ge\Sigma\frac{\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{a^2+b^2}}{ab\left(a^3+b^3\right)}=\Sigma\frac{a^3+b^3}{ab\left(a^2+b^2\right)}\ge\Sigma\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b}}{ab\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}\)

\(\ge\Sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{ab\left(a+b\right)}=\Sigma\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3 

trả lời 17 phút trước rồi cơ à :v sorry ko thấy 

DEO AI BT DAU A.Zay nen tu lam nha.

Rieieifi

2: Ta có: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=\dfrac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}-a-b-c=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c-a-b-c=0\)

1: Sửa đề: Cho \(x,y,z\ne0\) và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{2x+y+2z}\).

CM:....

Đặt 2x = x', 2z = z'.

Ta có: \(\dfrac{2}{x'}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z'}=\dfrac{2}{x'+y+z'}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=\dfrac{1}{x'+y+z'}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x'}-\dfrac{1}{x'+y+z'}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z'}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z'}{x'\left(x'+y+z'\right)}+\dfrac{y+z'}{yz'}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y+z'\right)\left(yz'+x'^2+x'y+x'z'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x'+y\right)\left(y+z'\right)\left(z'+x'\right)}{x'yz'\left(x'+y+z'\right)}=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(2z+2x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(y+2z\right)\left(z+x\right)=0\left(đpcm\right)\)