Question

1) cho \(x>0\). CMR: \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\) 

2) cho a, b, c, d>0. thỏa mãn \(a.b.c.d=1\). CM:

a) \(ab+cd\ge2\)

b) \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\)

giúp mk vs ạ mk cần gấp

Answer 1

1) Với x > 0 ta có:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge\dfrac{2x}{x}\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(\text{vì }x>0\right)\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng }\forall x>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\). Vậy BĐT được chứng mình với x > 0.

Answer 2

1: Áp dụng Bđt cosi, ta được:

\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2\)

Answer 3

2a) 

Có \(abcd=1\Rightarrow ab=\dfrac{1}{cd}\)

Áp dụng BĐT vừa chứng mình ở bài 1, ta có:

\(cd+\dfrac{1}{cd}\ge2\Leftrightarrow ab+cd\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow cd=1\)

Vậy BĐT được chứng minh với a,b,c,d > 0 thỏa mãn abcd = 1.