Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

câu 1: Cho xy =1 và x> y . Chứng minh \(\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)

câu 2:

Cho hai số a;b thỏa mãn a + b = 1

CMR : \(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)

T.Thùy Ninh
15 tháng 9 2017 lúc 19:47
T.Thùy Ninh
16 tháng 9 2017 lúc 11:29

Bài này là tớ đăg lên ! Nhưg hôm nay thầy tớ giải rồi! Tớ đăg lời giải lên đây cho mấy bạn tham khảo ạ! ko kiếm GP nhá!

Câu 1 :

Vì x > y \(\Rightarrow\) \(x-y>0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)

\(xy=1\Rightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\sqrt{2}\right)^2\ge0\)

Đúng với mọi x; y

Câu 2:

\(a^3+b^3+ab\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^3\right)+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2+ab-\dfrac{1}{2}\ge0\) ( vì a+b = 1 )

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(a+b=1\Rightarrow b=1-a\)

\(\Rightarrow a^2+\left(1-a\right)^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2a+\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\)

Đúng với mọi a;b

Dấu "=" xảy ra khi

\(2a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)

T.Thùy Ninh
17 tháng 9 2017 lúc 7:50
Mysterious Person
17 tháng 9 2017 lúc 9:09

bn thùy ninh đã giải rồi nhưng để mk giải chi tiết cho mọi người hiểu rỏ hơn

khúc đầu giải như bn thùy ninh

ta có \(x>y\Leftrightarrow x-y>0\) vậy nên ta không cần tìm điều kiện

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}.\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)

ta có ( \(xy=1\) nên ta có : \(\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy=0\) )

\(\Rightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy+2\sqrt{2}y-2\sqrt{2}x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\) (đúng với mọi \(x;y\) )

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-y-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x-y=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x+\left(-y\right)=\sqrt{2}\)

ta lại có \(xy=1\Leftrightarrow x.\left(-y\right)=-1\)

\(\Rightarrow\) \(x\)\(\left(-y\right)\) là nghiệm của phương trình \(X^2-\sqrt{2}X-1=0\)

\(\Delta=\left(-\sqrt{2}\right)^2-4.1.\left(-1\right)=2+4=6>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(X_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\) ; \(X_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)

vậy ta có : \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\\left(-y\right)=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\\left(-y\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\y=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vậy .................................................................................................................................


Các câu hỏi tương tự
Neet
Xem chi tiết
Karry Angel
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Hùng Mạnh
Xem chi tiết
Karry Angel
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Trang Nguyễn
Xem chi tiết
phạm kim liên
Xem chi tiết
Nguyễn Mai Anh
Xem chi tiết