Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Neet

câu 1: Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=3.chứng minh

\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)

câu 2: cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh

\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}\)

câu 3:tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình

xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2015 thỏa \(x\ge y\ge z\ge8\)

Lightning Farron
6 tháng 5 2017 lúc 20:48

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a-\dfrac{a^2}{a+b^2}=\dfrac{ab^2}{a+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{b\sqrt{a}}{2}\)

Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:

\(b-\dfrac{b^2}{b+c^2}\le\dfrac{c\sqrt{b}}{2};c-\dfrac{c^2}{c+a^2}\le\dfrac{a\sqrt{c}}{2}\)

Sau đó cộng theo vế các BĐT trên

\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge3-\dfrac{1}{2}\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)\)

\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\)

\(\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{3a^2+2b^2+2c^2-a^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự cho các BĐT còn lại ta có:

\(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2};\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Lightning Farron
6 tháng 5 2017 lúc 18:32

2 bài đầu bt làm r` để tẹo nữa làm ha~ :D


Các câu hỏi tương tự
Karry Angel
Xem chi tiết
Karry Angel
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Thịnh
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Madrid Real
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Thư Nguyễn Nguyễn
Xem chi tiết