Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có

\(x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{x^2}}=2\)

\(y^2+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{x^2}}=2\)

=> \(x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge4\)

Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{x^2};y^2=\dfrac{1}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow x^4=1;y^4=1\Leftrightarrow x=\pm1;y=\pm1\)

ĐK: x,y khác 0

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\\ \ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{y^2}}\\ =2+2=4\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\pm1\)

Ta có:

\(x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=4\\ \Leftrightarrow x^2-2+\dfrac{1}{x^2}+y^2-2+\dfrac{1}{y^2}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2=0\)

Do \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2=0\) và \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\\\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) nên:

\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2=0\)

Do đó: \(x=y=\pm1\)

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+y^2-2\cdot y\cdot\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}y=-1\\y=1\end{cases}}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\end{cases}}\)\(x-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\)

\(y-\frac{1}{y}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\)

\(\left|x-\frac{1}{2}\right|\left|y+\frac{1}{3}\right|\left|z-2\right|=0\)

Vì \(\left|x-\frac{1}{2}\right|;\left|y+\frac{1}{3}\right|;\left|z-2\right|\)luôn lớn hon hoặc bằng 0

=> x-1/2=0 ; y+1/3=0 ; z-2=0

=> x=1/2 ; y=-1/3 ; z=2

đọc sai đề rồi

=> \(\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

=> \(\left(x^2-2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2.y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

=> \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

<=> \(x-\frac{1}{x}=0;y-\frac{1}{y}=0\)

=> \(x^2=1;y^2=1\)

=> x = 1 hoặc -1

y = 1 hoặc -1

2x.(2x+1)(2x+2)...(2x+4)−2x.5y=11879.2x2x.(2x+1)(2x+2)...(2x+4)−2x.5y=11879.2x

⇒y=0;x=3⇒y=0;x=3

Vì VP không chia hết cho 5 ;y>0 thì VT chia hết cho 5

a) 2^x+1.3^y=12³

<=>2^x+1.3^y=(2²)³.3³

<=> 2^x+1=2⁶  và 3^y=3³

<=>x+1=6 và y=3

<=>x=5 và y=3

b) 10^x : 5^y=20^y

<=>10^x=20^y.5^y=100^y=(10²)^y

<=>x=2y (Nhiều số lắm chèn)

c) 2^x=4^y-1 

<=>2^x=2^y-2

<=>x=y-2

Mặt khác: 27^y=3^x+8

<=> 3^3y=3^x+8

<=>3y=x+8

<=>3y=(y-2)+8

<=>2y=6

<=>y=3

=>x=y-2=3-2=1

Sửa câu a xíu he

a) 2^x+1 . 3^y=12^x

<=>2^x+1.3^y=2^2x.3^x

<=>2^x+1=2^2x và 3^y=3^x

<=>x=y

và x+1=2x

<=>x=1 (và y=1)

=>Cặp (x;y)=(1;1)

a) Ta có: \(2^{x+1}\cdot3^y=12^x\)

\(\Leftrightarrow2^{x+1}\cdot3^y=\left(2^2\right)^3\cdot3^3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\cdot3\\y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: (x,y)=(5;3)

b) Ta có: \(10^x:5^y=20^y\)

\(\Leftrightarrow10^x=20^y\cdot5^y\)

\(\Leftrightarrow10^x=100^y\)

\(\Leftrightarrow x=2y\)