\(\left(a+c\right)\left(b-d\right)=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow ab-ad+bc-cd=ab+ad-bc-cd\)

\(\Leftrightarrow-ad+bc=ad-bc\)

\(\Leftrightarrow2bc=2ad\)

\(\Leftrightarrow bc=ad\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (đpcm)

\(\left(a+b\right)\left(b-d\right)=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}\) (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (đpcm)

Lời giải:
a) 

$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}$

$\Leftrightarrow \frac{ad-bc}{bd}< 0$

Vì $bd>0$ với mọi $b,d>0$ nên $ad-bc< 0\Leftrightarrow ad< bc$

b) Từ phần a suy ra $bc-ad>0$

$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}=\frac{bc-ad}{b(b+d)}>0$ do $bc-ad>0$ và $b(b+d)>0$ với mọi $b,d>0$)

$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}>\frac{a}{b}$

Lại có:
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$ với mọi $b,d>0$

$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}$ 

Ta có đpcm.

Nhanh nha 

a: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{k}{k-1}\)

\(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{k}{k-1}\)

Do đó: \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)

Lời giải:

a.

$(a-b)-(c-d)+(b+c)=a-b-c+d+b+c=(a+d)+(-b+b)+(-c+c)$

$=a+d+0+0=a+d$

b.

$(a+b-c)-(a-b+c)=a+(-b-a+c)$

$a+b-c-a+b-c=a-b-a+c$

$(a-a)+(b+b)-(c+c)=(a-a)-b+c$

$2b-2c=-b+c$

$2b+b=2c+c$

$3b=3c$

$b=c$ (đpcm)

a < b => 2a < a + b (1)

c < d => 2c < c + d (2)

Lấy (1) cộng (2) được:

2a + 2c < a + b + c + d

2(a + c) < a + b + c + d

=> \(\frac{a+c}{a+b+c+d}< \frac{1}{2}\) (đpcm)

Có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1\)( 1 )

\(\frac{c-d}{d}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}=\frac{c}{d}-1\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)( đpcm )

a-b/b=a/b-b/b=a/b-1=c/d-1(1)

c-d/d=c/d-d/d=c/d-1(2)

(1)(2)\(\Rightarrow\)đpcm