1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và

F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .

2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.

Ta có  G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B   , và  F B ∥ A D  ta có  G ∈ A D .

3). Chứng minh  B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.

1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):

- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
  + Góc \(A\) chung.
  + Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
  
  Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).

2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:

- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).

3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:

- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

a) (mình nghĩ đổi ME/CE thành MC/ME mới đúng chứ nhỉ?)

Áp dụng định lý Talet trong 2 \(\Delta MBA\)và \(\Delta MDF\)ta có:

\(\frac{MB}{MD}=\frac{MA}{MF}\left(1\right)\)

Tương tự áp dụng Talet trong 2 tam giác MAC,MFE ta có:

\(\frac{MC}{ME}=\frac{MA}{MF}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)

b) (A là trọng tâm của tam giác DEF)

Dễ dàng chứng minh: \(\frac{BC}{DE}=\frac{1}{3}\)(tự c/m)

tam giác ABC đồng dạng với tam giác FDE theo trường hợp g.g (tự c/m)

=> BC/DE=AB/DF=AC/EF=1/3

tam giác MBA đồng dạng với tam giác MDF theo trường hợp g.g (tự c/m)

=> MA/MF=AB/DF=1/3

=>3.AM=MF

=> (ĐPCM)

a) Chứng minh BDEF là hình bình hành Þ ED= BF = AE Þ DAED cân ở E.

b) Ta có B A D ^ = D A C ^  (vì cùng bằng A D E ^ ) Þ AD là phân giác Â

a: Xét tứ giác BFED có 

FE//BD

DE//BF

Do đó: BFED là hình bình hành

Suy ra: DE=BF

mà AE=BF

nên ED=EA

hay ΔAED cân tại E

Ai trả lời câu này đi để mình làm vs