\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

oh no bài thứ nhất là dạng chứng minh cs đúng ko ,

ko thể nào là dạng tìm a,b,c đc-.-

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2022}\)

hay \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc=abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

-Xét a + b = 0 => P = 2022^2021

Bạn xét tương tự với b + c = 0 và c + a = 0 dc P = 2022^2021 nhé

a+bab+a+bc(a+b+c)=0a+bab+a+bc(a+b+c)=0

(a+b)[ab+bc+ca+c2abc(a+b+c)]=0(a+b)[ab+bc+ca+c2abc(a+b+c)]=0

 ⇔ a=−b

 ⇔ b=−c

 ⇔ c=−a

Thay vào P từng cái rồi tính tiếp nhé

Lời giải:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$a-b=b-c=c-a=0$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$

Khi đó:

$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$ 

Ta có đpcm.

Đề này là đề giữa kì trường Ams đúng ko?