Chứng minh: các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của ,y
a) \(x^2+8x+20\)
b)(x-7)(x-11)+5
c)\(\left(x^2+1\right)^2-\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)\)
d)\(x^2+x+1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
A=\(x^2-4x+1\) \(B=4x^2+4x+11\)
\(C=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x+6\right)\)
\(D=2x^2+y^2-2xy+2x-4y+9\)
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
\(E=5-8x-x^2\)
\(F=4x-x^2+1\)
* C/m các biểu thức sau luôn có giá trị dương vs mọi x.
a) A = \(^{x^2-8x+20}\) b) B = \(4x^2-12x+11\)c) C = \(x^2-x+1\)
* tìm x bt :
\(3\left(x+2\right)^2+\left(2x-1\right)^2-7\left(x+3\right).\left(x-3\right)=36\)
Cm: Ta có:
a) A = x2 - 8x + 20 = (x2 - 8x + 16) + 4 = (x - 4)2 + 4 > 0 \(\forall\) x(vì (x - 4)2 \(\ge\)0 \(\forall\)x ; 4 > 0)
=> A luôn dương với mọi x
b) B = 4x2 - 12x + 11 = [(2x)2 - 12x + 9] + 2 = (2x - 3)2 + 2 > 0 \(\forall\)x (vì (2x - 3)2 \(\ge\)0 \(\forall\)x; 2 > 0)
=> B luôn dương với mọi x
c) C = x2 - x + 1 = (x2 - x + 1/4) + 3/4 = (x - 1/2)2 + 3/4 > 0 \(\forall\)x (vì (x - 1/2)2 \(\ge\)0 \(\forall\)x; 3/4 > 0)
=> C luôn dương với mọi x
* Tìm x
3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36
=> 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 - 4x + 1 - 7(x2 - 9) = 36
=> 3x2 + 12x + 12 + 4x2 - 4x + 1 - 7x2 + 63 = 36
=> 8x + 76 = 36
=> 8x = 36 - 76
=> 8x = -40
=> x = -40 : 8 = -5
Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của các biến
a) \(A=\left(x-y\right)^2\left(z^2-2z+1\right)-2\left(z-1\right)\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left(x-y\right)^2\left(z^2-2z+1\right)-2\left(z-1\right)\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left(x-y\right)^2\left(z-1\right)^2-2\left(x-y\right)\left(z-1\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\)
\(A=\left[\left(x-y\right)\left(z-1\right)-\left(x-y\right)\right]^2\ge0\) \(\forall x,y,z\)
a) Chứng minh rằng biểu thức \(P = 5{\rm{x}}\left( {2 - x} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.
b) Chứng minh rằng biểu thức \(Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x - 4y} \right) - 2{\rm{x}}\left( {6 - 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}P = 5{\rm{x}}\left( {2 - x} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\P = 5{\rm{x}}.2 - 5{\rm{x}}.x - x.x - x.9 - 1.x - 1.9\\P = 10{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} - {x^2} - 9{\rm{x}} - x - 9\\P = - \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right)\end{array}\)
Vì \(6{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(6{{\rm{x}}^2} + 9 \ge 9,\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right) \le - 9 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x - 4y} \right) - 2{\rm{x}}\left( {6 - 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + x.x - x.4y - 2{\rm{x}}.6 - 2{\rm{x}}.\left( { - 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + {x^2} - 4{\rm{xy}} - 12{\rm{x}} + 4{\rm{xy + 12x + 1}}\\{\rm{Q = 4}}{{\rm{x}}^2} + 1\end{array}\)
Vì \({\rm{4}}{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 1 \ge 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x, y.
Chú ý nếu \(c>0\) thì \(\left(a+b\right)^2+c\) và \(\left(a-b\right)^2+c\) đều dương với mọi a, b
Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a) Với mọi giá trị x khác \(\pm1\), biểu thức :
\(\dfrac{x+2}{x-1}.\left(\dfrac{x^3}{2x+2}+1\right)-\dfrac{8x+7}{2x^2-2}\) luôn có giá trị dương
b) Với mọi giá trị của x khác 0 và khác - 3, biểu thức :
\(\dfrac{1-x^2}{x}.\left(\dfrac{x^2}{x+3}-1\right)+\dfrac{3x^2-14x+3}{x^2+3x}\) luôn có giá trị âm
Vì \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\) với mọi giá trị của \(x\) nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của \(x\)
Bài 7.Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau ko phụ thuộc vào giá trị của x:
a) \(\left(x+5\right)^2-\left(x-5\right)^2-20x+2\)
b) \(\left(x+3\right).\left(x-5\right)-\left(x-1\right)^2\)
c) \(\left(3x+2\right).\left(x-2\right)-x\left(3x-5\right)+8\)
d) \(2\left(3x+1\right).\left(2x+5\right)-6x\left(2x+4\right)-10\left(x-1\right)\)
a) \(\left(x+5\right)^2-\left(x-5\right)^2-20x+2\)
\(=x^2+10x+25-x^2+10x-25-20x+2\)
\(=2\) không phụ thuộc vào \(x\)
b) \(\left(x+3\right)\left(x-5\right)-\left(x-1\right)^2\)
\(=x^2-2x-15-x^2+2x-1\)
\(=-16\) không phụ thuộc vào \(x\)
c) \(\left(3x+2\right)\left(x-2\right)-x\left(3x-5\right)+8\)
\(=3x^2-4x-4-3x^2+5x+8\)
\(=x+8\) câu này đề sai.
d) \(2.\left(3x+1\right)\left(2x+5\right)-6x.\left(2x+4\right)-10\left(x-1\right)\)
\(=2.\left(6x^2+17x+5\right)-\left(12x^2+24x\right)-10x+10\)
\(=12x^2+34x+10-12x^2-24x-10x+10\)
\(=20\) không phụ thuộc vào \(x\)
a) ( x + 5 )2 - ( x - 5 )2 - 20x + 2
= x2 + 10x + 25 - ( x2 - 10x + 25 ) - 20x + 2
= x2 + 10x + 25 - x2 + 10x - 25 - 20x + 2
= 2 ( đpcm )
b) ( x + 3 )( x - 5 ) - ( x - 1 )2
= x2 - 2x - 15 - ( x2 - 2x + 1 )
= x2 - 2x - 15 - x2 + 2x - 1
= -16 ( đpcm )
c) ( 3x + 2 )( x - 2 ) - x( 3x - 5 ) + 8
= 3x2 - 4x - 4 - 3x2 + 5x + 8
= x + 4 ( lỗi đề )
d) 2( 3x + 1 )( 2x + 5 ) - 6x( 2x + 4 ) - 10( x - 1 )
= 2( 6x2 + 17x + 5 ) - 12x2 - 24x - 10x + 10
= 12x2 + 34x + 10 - 12x2 - 24x - 10x + 10
= 20 ( đpcm )
Chứng Minh rằng giá trị của các biểu thức sau ko phụ thuộc vào biến:
a)\(\left(2-x\right)\left(1+2x\right)+\left(1+x\right)-\left(x^4+x^3-5x^2-5\right)\\ \)
\(b)\left(x^2-7\right)\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)\left(x-14\right)+x\left(x^2-2x-22\right)+35\)
Câu 8 : Cho biểu thức :
\(N=\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+x}-\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{\left(x-1\right)^4+2}{\left(x-1\right)^3-1}-x+1\right)\)
Chứng minh rằng với mọi giá trị thích hợp của x thì giá trị N luôn là số nguyên
Câu 8 :
\(N=\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+x}-\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{\left(x-1\right)^4+2}{\left(x-1\right)^3-1}-x+1\right)\)
Đặt \(x-1=a\)
\(N=\left(\frac{a}{a^2+x}-\frac{2}{a-1}\right):\left(\frac{a^4+2}{a^3-1}-a\right)\)
\(N=\frac{a\left(a-1\right)-2\left(a^2+x\right)}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a\left(a^3-1\right)}{a^3-1}\)
\(N=\frac{a^2-a-2a^2-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a^4+a}{a^3-1}\)
\(N=\frac{-a^2-a-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}\cdot\frac{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{2+a}\)
\(N=\frac{-\left(a^2+a+2x\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2+x\right)\left(2+a\right)}\)
\(N=\frac{-\left[\left(x-1\right)^2+x-1+2x\right]\left[\left(x-1\right)^2+x-1+1\right]}{\left[\left(x-1\right)^2+x\right]\left(2+x-1\right)}\)
\(N=\frac{-\left(x^2+x\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(N=\frac{-x\left(x+1\right)}{x+1}\)
\(N=-x\)( đpcm )
Câu 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\left(\frac{x^2+16}{x}+8\right)+9\)
Bài làm :
\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\frac{x^2+8x+16}{x}+9\)
\(P=\frac{x^2\left(x+4\right)^2}{x\left(x+4\right)}+9\)
\(P=x\left(x+4\right)+9\)
\(P=x^2+4x+9\)
\(P=\left(x+2\right)^2+5\ge5\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-2\)
Bài 10 : Tìm GTLN
\(Q=\left(\frac{x^3+8}{x^3-8}\cdot\frac{4x^2+8x+16}{x^2-4}-\frac{4x}{x-2}\right):\frac{-16}{x^4-6x^3+12x^2-8x}\)
\(Q=\left[\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\cdot\frac{4\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{4x}{x-2}\right]:\frac{-16}{x\left(x^3-6x^2+12x-8\right)}\)
\(Q=\left(\frac{4\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)^2}-\frac{4x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\right):\frac{-16}{x\left[x^2\left(x-2\right)-4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)\right]}\)
\(Q=\frac{4x^2-8x+16-4x^2+8x}{\left(x-2\right)^2}:\frac{-16}{x\left(x-2\right)\left(x^2-4x+4\right)}\)
\(Q=\frac{16}{\left(x-2\right)^2}\cdot\frac{-x\left(x-2\right)\left(x-2\right)^2}{16}\)
\(Q=-x\left(x-2\right)\)
\(Q=-x^2+2x\)
\(Q=-x^2+2x-1+1\)
\(Q=1-\left(x-1\right)^2\le1\forall x\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy....
chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a. \(A=\left(3x+7\right)\left(2x+3\right)-\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)\)
b. \(B=\left(x^2-2\right)\left(x^2+x-1\right)-x\left(x^3+x^2-3x-2\right)\)
c. \(C=x\left(x^3+x^2-3x-2\right)-\left(x^2-2\right)\left(x^2+x-1\right)\)