A=\(\frac{1}{x^2}+x^2=\frac{1}{x^2}+2.x\frac{1}{x}+x^2-2=\left(\frac{1}{x}+x\right)^2-2\ge-2\)

vậy minA=-2

\(A=x.\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+4\right)\)

\(=\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-12\right)\)

đặt \(x^2+x-6\)=y

\(A=\left(y+6\right)\left(y-6\right)\)

\(=y^2-36\)\(\ge-36\)

dấu = xảy ra khi \(x^2+x-6=0\)

x=2 hoặc x=-3

Nhân vế này cho 2 là ra

 Với x = 0 => y² = 1 => P = 0 (1) 
- Với y = 0 => x² = 1 => P = 2 (2) 
- Xét x, y ≠ 0, thay 1 = x² + y² ở mẫu thức và đặt x = ay ta có : 
P = 2(x² + 6xy)/(1 + 2xy + 2y²) 
= 2(x² + 6xy)/(x² + 2xy + 3y²) 
= 2(a²y² + 6ay²)/(a²y² + 2ay² + 3y²) 
= 2(a² + 6a)/(a² + 2a + 3) 
<=> P(a² + 2a + 3) = 2(a² + 6a) 
<=> (P - 2)a² + 2(P – 6)a + 3P = 0 (*) 
Coi (*) như là PT bậc 2 theo ẩn a tham số P, Để (*) có nghiệm thì : 
∆' = (P - 6)² - 3P(P - 2) = - 2P² - 6P + 36 = 81/2 - 2(P + 3/2)² ≥ 0 
<=> (P + 3/2)² ≤ 81/4 
<=> - 9/2 ≤ P + 3/2 ≤ 9/2 
<=> - 6 ≤ P ≤ 3 (3) 
So sánh (1); (2) và (3) ta có :MinP = - 6 và MaxP = 3 
Thay Pmin = - 6 vào (*) có 4a² + 12a + 9 = 0 <=> (2a + 3)² = 0 <=> a = - 3/2 <=> x = - 3y/2 => 9y²/4 + y² = 1 <=> y² = 4/13 => y = - 2√13/13; y = 2√13/13 => x = 3√13/13 ; x = - 3√13/13 
MinP = - 6 xảy ra khi (x; y) = (3√13/13; - 2√13/13); (- 3√13/13; 2√13/13) 
Thay Pmax = 3 vào (*) có a² - 6a + 9 = 0 <=> (a - 3)² = 0 <=> a = 3 <=> x = 3y => 9y² + y² = 1 <=> y² = 1/10 => y = - √10/10; y = √10/10 => x = - 3√10/10 ; x = 3√10/10 
MaxP = 3 xảy ra khi (x; y) = (3√10/10; √10/10); (- 3√10/10; - √10/10) 

2.A = 2x² + 2y² - 2xy  - 2x + 2y + 2 = (x² - 2xy + y² ) + (x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) = (x - y)² + (x - 1)² + (y +1)²

= (x - y)² + (1 - x)² + (y +1)²

Ap dụng bđt Bu nhi a: (ax + by + cz)² \(\le\) (a² + b² + c²)(x² + y² + z²). dấu = xảy ra khi a/x = b/y = c/z

ta có [(x - y).1 + (1- x).1 + (y + 1).1]² \(\le\) [(x - y)² + (1 - x)² + (y +1)²].(1² + 1² + 1²)

=> 4 \(\le\) 3. 2.A => A \(\ge\)2/3 => Min A = 2/3

dấu = xảy ra khi x - y = 1- x = y + 1 => x = 1/3; y = -1/3