Để chứng minh 1) AE = AN, ta sẽ sử dụng định lí hai đường trung bình của tam giác.Theo định lí hai đường trung bình, AM là đường trung bình của tam giác ABC.Vì vậy, ta có AM = 1/2(AB + AC).Đồng thời, ta cũng có AN là đường trung bình của tam giác ADC.Từ đó, ta có AN = 1/2(AD + AC).Do đó, để chứng minh AE = AN, ta cần chứng minh AE = 1/2(AB + AD).Ta biết rằng AE là đường cao của tam giác ABC với cạnh AB.Vì vậy, ta có AE = √(AB^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ABC)Tương tự, ta biết rằng AN là đường cao của tam giác ADC với cạnh AD.Vì vậy, ta cũng có AN = √(AD^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ADC)

Sửa đề: Cắt CD tại E

1: Sửa đề: Chứng minh AE=AM

góc BAM+góc DAM=90 độ

góc DAM+góc EAD=90 độ

=>góc BAM=góc EAD

Xét ΔBAM vuông tại B và ΔDAE vuông tại D có

AB=AD

góc BAM=góc DAE

=>ΔBAM=ΔDAE
=>AM=AE

2: 1/AM^2+1/AN^2

=1/AE^2+1/AN^2

ΔAEN vuông tại A có AD là đường cao

nên 1/AE^2+1/AN^2=1/AD^2=1/AB^2

=>1/AB^2=1/AM^2+1/AN^2

a) Xét ΔBDE vuông tại D và ΔDCE vuông tại C có 

\(\widehat{DEC}\) chung

Do đó: ΔBDE\(\sim\)ΔDCE(g-g)

b) Xét ΔBCD vuông tại C và ΔDHC vuông tại H có

\(\widehat{BDC}=\widehat{DCH}\)(hai góc so le trong, BD//CH)

Do đó: ΔBCD\(\sim\)ΔDHC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{DC}{CH}=\dfrac{BD}{CD}\)

hay \(CD^2=CH\cdot BD\)

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc AF cắt đường thẳng CD tại P

Xét hai tam giác vuông ABE và ADP có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{D}=90^0\\AB=AD\\\widehat{BAE}=\widehat{DAP}\left(\text{ cùng phụ }\widehat{DAE}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ADP\Rightarrow AP=AE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông APF:

\(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (đpcm)