Ta có BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow a^6+b^6+ab\left(a^4+b^4\right)\ge a^6+b^6+a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4\right)\ge ab\left(a^3b+ab^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

...

Tớ vừa sửa đề rồi nha cậu :V

Cậu làm giùm tớ câu tớ vừa sửa nhé !! 

K áp dụng BĐT ạ

Mình thử nha :33

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+2\left(a^2b^2-4abcd+c^2d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Vậy ta có BĐT cần chứng minh đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)

Có : a^4;b^4;c^4;d^4 đều >= 0 nên ta áp dụng bđt cosi cho 4 số a^4;b^4;c^4;d^4 >= 0 thì :

a^4+b^4+c^4+d^4 >= 4\(\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}\) = 4abcd

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d

=> ĐPCM

Tk mk nha

\(a^4+b^4+c^4+d^4\)

\(\ge2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\left(2.ab.cd\right)=4abcd\)

Dấu = khi a=b=c=d

Theo Cosi ta có

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1

bạn vào trang này http://olm.vn/hoi-dap/question/86475.html

Đây là bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm mà

-alibaba nguyễn: đề chưa có 4 số a,b,c,d không âm nên.....................

Ta có: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\) , \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\) (Rất dễ cm, bạn dùng biến đổi tương đương)

. => \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\) (1) Lại áp dụng BĐT trên, có:

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd=>2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)(2)

. Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d

Bài 1:

a) \(\)Ta có: x² + y² + z² + 3 - 2(x + y + z) = (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² ≥ 0

=> x² + y² + z² + 3 ≥ 2(x + y + z)

b) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cô-si:

\(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge2.2.\sqrt{a^2b^2c^2d^2}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d

Bài 2:

Ta sẽ chứng minh ab + bc + ca ≤ \(\dfrac{1}{3}\)(a + b + c)² = 0

<=> 3ab + 3bc + 3ca ≤ (a + b + c)²

<=> 3ab + 3bc + 3ca ≤ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

<=> ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²

Thật vậy:

(a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² ≥ 0

<=> 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

<=> a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 0

b, Ta có \(m=a+b+c\)

          \(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)

Áp dụng Côsi:

\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)

Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)