Ta có :

\(10^n-9n-1=\left(10^n-1\right)-9n=99999.....99999-9n\)(n chữ số 9)

\(=9\left(1111.....111-n\right)\)(n chữ số 1)

Thấy : \(1111.....111\)(n chữ số 1) có tổng các chữ số là n

Nên \(1111....111-n⋮3\)

\(\Rightarrow9\left(1111....1111-n\right)\)(n chữ số 1) chia hết cho 27

Hay \(10^n-9n-1⋮27\) (đpcm)

cho tam giác abc vuông tại a có ab=9cm , ac=12cm.gọi M, N lần lượt là trung điểm của ab,ac

a) tính độ dài mn

b)hỏi tứ giác BMNC là hình j ?vì sao?

Đặt \(\left(9n+2,5n+1\right)=d\).

Suy ra 

\(\hept{\begin{cases}9n+2⋮d\\5n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow5\left(9n+2\right)-9\left(5n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Suy ra đpcm. 

. Mình dùng quy nạp nha bạn ^^  10ⁿ – 9n – 1 chia hết cho 27 (*)

. Đặt \(A=\)10ⁿ  - 9n -1 

. Với n = 0, ta có: A = 10⁰-9.0-1=0 chia hết cho 27

. Giả sử với n=k \(\left(k\varepsilon N\right)\) thì mệnh đề (*) đúng, tức là 10^k-9k-1 chia hết cho 27

. Với n=k+1, ta có: A=10^(k+1)-9(k+1)-1 = 10^k.10-9k-9-1 = 10^k-9k-1 + 9.10^k-10

. Ta thấy 10^k-9k-1 chia hết cho 27(cmt) để A chia hết cho 27 thì ta cần cm 9.10^k-10 chia hết cho 27

. Xét 9.10^k-10, ta có: 9.10^k-10 = 90(10^k-1-1) = 90.(10-1).M ( M là 1 đa thức)

= 90.9.M chia hết cho 27  

. Vậy A chia hết cho 27 =))

Với n=1 => \(10^1-9.1-1=0\) chia hết cho 81

Giả sử \(10^k-9k-1\) chia hết cho 81

Ta cần c/m \(10^{k+1}-9\left(k+1\right)-1\) chia hết cho 81

\(10^{k+1}-9k-1=10.10^k-9k-9-1=\)

\(=\left(10^k-9k-1\right)+9.\left(10^k-1\right)\)

Ta có \(10^k-9k-1\) chia hết cho 81

Ta có \(9\left(10^k-1\right)=9x999....99\) (k chữ số 9)\(=9.9\left(1111...111\right)=81.1111...11\)  (k chữ số 1) chia hết cho 81

\(\Rightarrow10^{k+1}-9\left(k+1\right)-1\) chia hết cho 81

\(\Rightarrow10^n-9n-1\) chia hết cho 81 với mọi n

Tiếp theo bài giải của bạn Nguyễn Thanh Hằng

\(2n+1⋮d\\ \Rightarrow5n\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow10n^2+5n⋮d\Rightarrow\left(10n^2+9n+4\right)-\left(10n^2+5n\right)⋮d\\ \Rightarrow4n+4⋮d\Rightarrow4.\left(n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow n+1⋮d\)

Vì d lẻ do 2n+1 chia hết cho d

\(\Rightarrow2n+2⋮d\\ \Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow1⋮\left(đpcm\right)\)

Gọi \(d=ƯCLN\left(10n^2+9n+4;20n^2+20n+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10n^2+9n+4⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n^2+18n+8⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2n+1⋮d\)

đên đây thì bí

Gọi \(d=ƯC\left(3n+1;9n+6\right)\) với \(d\ge1\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}3n+1⋮̸3\\9n+6⋮̸3\end{matrix}\right.\) ;\(\forall n\in N\Rightarrow d\ne3\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}3n+1⋮d\\9n+6⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow9n+6-3\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=3\\d=1\end{matrix}\right.\)

Mà \(d\ne3\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{3n+1}{9n+6}\) tối giản với mọi \(n\in N\)