\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar:

\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=2\)(1)

Áp dụng BĐT Nesbit:

\(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)\ge3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\ge5\)

hay \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\ge\left(đpcm\right)\)

Ta có: \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}-5\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)

Giải bất phương trình

Cuối cùng ta được: \(\left(c-a\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\right)+2\left(b-c\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\right)+\left(a-b\right)^2\) \(\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)

BĐT đúng <=> a = b = c

Lời giải đây nhé Câu hỏi của Đinh Đức Hùng - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(BDT\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{c-a}{a+b}+\frac{2\left(c-b\right)}{a+b}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{2\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{a-b}{b+c}+\frac{a-c}{b+c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)^2\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+2\left(b-c\right)^2\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\left(a-b\right)^2\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\)

BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM

Xảy ra khi \(a=b=c\)

Tại t nháp luôn vào chỗ để gửi trả lời nên khi gửi ko nhìn lại nó hơi tắt. Hết dòng thứ 2, bắt đầu dòng thứ 3:

\(\Leftrightarrow\left(\frac{c-a}{a+b}+\frac{a-c}{b+c}\right)+\left(\frac{2\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{2\left(c-b\right)}{a+b}\right)+\left(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-a}{a+c}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)+2\left(b-c\right)\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+\left(a-b\right)\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow....\)  the last ineq in here ! 

Khi a=b=c

Mk nghĩ chỗ kia là cộng :3

\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=\frac{a+c+2c}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)

\(=2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy: \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=2\)

Áp dụng bđt Nesbit: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)

Cộng theo vế suy ra đpcm. "=" khi a=b=c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có :

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{4}\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có:

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\)\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2c}\right)\)

và \(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}\right)\)

Cộng theo vế ta có:\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Với [x>1x<−1] ta có: x^3< x^3+2x^2+3x+2<(x+1)^3⇒x^3<y^3<(x+1)^3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤ x ≤1
Mà x∈Z⇒x∈{−1;0;1}
∙∙ Với x=−1⇒y=0
∙∙ Với x=0⇒y= căn bậc 3 của 2 (không thỏa mãn)
∙∙ Với x=1⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2)

mình chưa hiểu câu đầu lắm

mấy cái kia mik ko lm đc đâu.Mik mới học lớp 7 và đã hcj đc chương trình lớp 8 một chút

\(VP=\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{4\left(a^2b+a^2c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(4+a^2b+a^2c\right)\)

\(=3+\frac{1}{4}\Sigma ab\left(a+b\right)\le3+\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\le a^3+b^3+c^3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

mình nghĩ là khi a=b

mình là Ask a question