Lời giải:

Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)

\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)

PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)

Với $a\neq 0$

Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)

Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)

Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:

\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)

Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm

Ta có: \(\Delta=b^2-4ac\)

Lại có: \(\left(a+c\right)^2< ab+bc-2ac\)

\(\Rightarrow-2ac>b\left(a+c\right)+\left(a+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac>b^2+2b\left(a+c\right)+2\left(a+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta>\left(a+b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2>0\)

Suy ra phương trình \(ax^2+bx+c\) luôn có nghiệm

Ta có (a + c)² < ab + bc - 2ac

<=> ab + bc - a² - c² - 4ac > 0 (1)

Ta lại có a² + b² + c2 \(\ge\)ab + bc +ca > ab + bc (2)

Từ (1) và (2) => b² - 4ac > 0

Vậy PT luôn có nghiệm

Thay `b=5a+2c` vào `ax^2+bx+c=0`:

`ax^2+(5a+2c)x+c=0`

`=>Delta=(5a+2c)^2-4ac`

`=25a^2+20ac+4c^2-4ac`

`=25a^2+16ac+4c^2`

`=9a^2+(16a^2+16ac+4c^2)`

`=9a^2+(4a+2c)^2>=0`

`=>` ĐPCM

nếu b > a+c
<=> \(b^2>\left(a+c\right)^2\\ \Leftrightarrow b^2-4ac>a^2+2ac+c^2-4ac\\ \Leftrightarrow\Delta>\left(a-c\right)^2\ge0\)

=> đpcm

Gọi x₀ là nghiệm chung của 2 phương trình

Ta có:\(x_0^2+ax_0+bc=0;x_0^2+bx_0+ca=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)x_0=c\left(a-b\right)\)

Mà \(a\ne b\Rightarrow x_0=c\)

Gọi các nghiệm của phương trình x² +ax + bc = 0 và x² + bx + ac = 0 là x₁ và x₂

Theo Viet ta có:\(x_0x_1=bc;x_0x_2=ca\)

Mà \(x_0=c\ne0\Rightarrow x_1=b;x_2=a\)

Do b;c là các nghiệm của phương trình x² +ax + bc = 0 nên b+c=-a => -c=a+b => a,b là các nghiệm của phương trình:

x² - ( a+b ) x + ab = 0 hay x² + cx + ab = 0

Câu hỏi của Trần Hà My - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo link này nhé!