Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:

P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a

Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:

x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:

P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).

\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)

\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)

Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)

\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)

\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Lời giải:

$N=a(b+3c)+5bc=(1-b-c)(b+3c)+5bc$

$=b+3c-b^2-3c^2+bc$

$-N=b^2+3c^2-bc-b-3c$

$-2N=2b^2+6c^2-2bc-2b-6c$

$\geq b^2+5c^2-2b-6c$

$=(b+c-1)^2+(2c-1)^2-2bc-2$

$\geq -2(bc+1)$

Mà $bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow bc+1\leq \frac{5}{4}$

$\Rightarrow -2(bc+1)\geq \frac{-10}{4}$
$\Rightarrow -2N\geq \frac{-10}{4}$

$\Rightarrow N\leq \frac{5}{4}$

Vậy $N_{\max}=\frac{5}{4}$ khi $(a,b,c)=(0,\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Làm ơn giải giúp mình với ạ !

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 

\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)

\(=3\left(2a+2b+2c\right)=3.2\left(a+b+c\right)=6.2021=12126\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{12126}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)