\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)

m Khác 1 ( h/s ố không qua O )

+ x =0 => y = m -1   A(0;m-1)

+y =0 => x =1-m  B(1-m;0)

Áp dụng HTL trong tam gics AOB vuông tại O

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(m-1\right)^2}+\frac{1}{\left(1-m\right)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}^2}\)

Hay (m-1)² =4  => /m -1/ = 2 => m =3 hoặc m =-1

(d): \(y=\left(m^2+3\right)x+4\)

=>\(\left(m^2+3\right)x-y+4=0\)

Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m^2+3\right)+0\cdot\left(-1\right)+4\right|}{\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{4}{\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+1}}\)

\(m^2+3>=3\forall m\)

=>\(\left(m^2+3\right)^2>=9\forall m\)

=>\(\left(m^2+3\right)^2+1>=10\forall m\)

=>\(\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+1}>=\sqrt{10}\forall m\)

=>\(\dfrac{4}{\sqrt{\left(m^2+3\right)^2+1}}< =\dfrac{4}{\sqrt{10}}\forall m\)

=>\(d\left(O;\left(d\right)\right)< =\dfrac{4}{\sqrt{10}}\forall m\)

Vậy: Khoảng cách từ O(0;0) đến (d) lớn nhất bằng \(\dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{10}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\) khi m=0

Dễ dàng nhận thấy d luôn đi qua điểm cố định \(A\left(0;4\right)\) \(\Rightarrow OA\) cố định

Gọi giao điểm của d và trục Ox là C \(\Rightarrow C\left(\frac{-4}{m^2+1};0\right)\)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OC^2}\) mà \(OA\) cố định \(\Rightarrow OH_{max}\) khi \(OC_{max}\)

Mà \(OC=\frac{4}{m^2+1}\le4\Rightarrow OC_{max}=4\) khi \(m=0\)

Vậy \(m=0\) thì k/c từ gốc tọa độ tới d là lớn nhất