Ta có:MN=EN=DF=FN\(=\dfrac{AM}{2}\)

=>\(\widehat{END}=\widehat{ENM}+\widehat{MND}\)

=\(2\widehat{EAM}=2\widehat{DAE}=60^o\)

lại có :\(\widehat{DNF}=\widehat{MNF}-\widehat{MND}\)

=> \(2\widehat{MAC}-2\widehat{MAD}=2\widehat{DAC}=60^o\)

Có tam giác NED ,NDF là tam giác đều

Từ đó suy ra : EN=FN=DF=DF

Vậy DENF là hình thoi (đpcm).

bài này giải ra max dài hơn 1 trang lận

Tham khảo:

a) $HK$ là đường trung tuyến trong $△ADH$ vuông nên $HK=\frac{AD}{2}$

Tương tự, $FK=\frac{AD}{2}=HK$. Suy ra $△KFH$ cân tại $K$

Ta có $\widehat{AKF}={180}^{\circ }-2\widehat{KAF}$ do $△AKF$ cân tại $K$. Tương tự, $\widehat{HKD}={180}^{\circ }-2\widehat{KDH}$

Suy ra$\widehat{AKF}+\widehat{HKD}={180}^{\circ }-2\widehat{KAF}+{180}^{\circ }-2\widehat{KDH}={360}^{\circ }-2(\widehat{KAF}+\widehat{KDH})={360}^{\circ }-2({180}^{\circ }-\widehat{ACD})={360}^{\circ }-2({180}^{\circ }-{60}^{\circ })={120}^{\circ }$

Mà $\widehat{FKH}={180}^{\circ }-\widehat{AKF}-\widehat{HKD}={60}^{\circ }$

Vậy $△KFH$ đều

b) Chứng minh như câu a, ta được $△KEH$ đều, suy ra $KEHF$ là hình thoi. Như vậy thì 2 đường chéo vuông góc, hay $KH\perp EF$

vì tứ giác FMEH có góc F = 90 độ; H = 90 độ; E = 90 độ.

\(\Rightarrow\)góc M = 90 độ

\(\Rightarrow FH//ME ; FM//HE\)

\(\Rightarrow\)tứ giác FMEH là hình chữ nhật 

\(\Rightarrow\)ME=FH

a ) tứ giác MFHE có :

\(\widehat{MFH}+\widehat{FHE}+\widehat{HEM}+\widehat{EMF}=360^o\)( tính chất tổng các góc trong tứ giác )

hay \(90^o+90^o+90^o+\widehat{EMF}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EMF}=360^o-90^o-90^o-90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EMF}=90^o\)

\(\Rightarrow FM\perp ME\left(dhnb\right)\)

mà \(HE\perp ME\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow FM//HE\left(\perp\rightarrow//\right)\)

\(\Rightarrow FHEM\)là hình thang

mà\(\widehat{MFH}=\widehat{EMF}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow FHEM\)là hình thang cân

\(\Rightarrow ME=FH\)( tính chất cạnh trong hình thang cân )

b ) kẻ EF

có M là trung điểm của BC ( gt )

\(\Delta ABC\)cân tại A ( gt )

\(\Rightarrow AM\)là đường cao

\(\Rightarrow AM\)cũng là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAE}\)\(hay\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)

xét \(\Delta MAD\)và \(\Delta MCE\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=90^o\\AMchung\\\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta MAD=\Delta MCE\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AD=AE\)( 2 cạnh tương ứng )

xét \(\Delta ADK\)và \(\Delta AEK\)có :

\(\hept{\begin{cases}AMchung\\\widehat{DAK}=\widehat{EAK}\left(cmt\right)\\AD=AE\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta ADK=\Delta AEK\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AKD}=\widehat{AKE}\)( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{AKD}+\widehat{AKE}=180^o\left(kb\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AKD}=\widehat{AKE}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

\(\Rightarrow AM\perp DK\left(dhnb\right)\)

AM là đường cao \(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(\Rightarrow DK//BC\)

\(hayBK//MC\)

\(\Rightarrow MDKC\)là hình thang

câu b là kẻ KE nhé chứ không phải là FE