\(M=\frac{2x+y+z-15}{x}+\frac{x+2y+z-15}{y}+\frac{x+y+2z-15}{z}\)

\(M-3=\frac{x+y+z-15}{x}+\frac{x+y+z-15}{y}+\frac{x+y+z-15}{z}\)

\(M-3=\left(x+y+z-15\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge\left(x+y+z-15\right)\cdot\frac{9}{x+y+z}+3=\frac{3}{4}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=4\)

nhận ra là bài này sai đề :)))

Bài này đúng đề mà

Đề có sai không bạn?

ko làm đc thì chắc là sai thôi bạn

M=\(\dfrac{x+12-15}{x}+\dfrac{y+12-15}{y}+\dfrac{z+12-15}{z}\)\(=\dfrac{x-3}{x}+\dfrac{y-3}{y}+\dfrac{z-3}{z}=3-\dfrac{3}{x}-\dfrac{3}{y}-\dfrac{3}{z}\)

Chắc sai đề thật

Thay \(x+y+z=12\) thì:

\(M=\frac{x+12-15}{x}+\frac{y+12-15}{y}+\frac{z+12-15}{z}\)

\(M=\frac{x-3}{x}+\frac{y-3}{y}+\frac{z-3}{z}=1-\frac{3}{x}+1-\frac{3}{y}+1-\frac{3}{z}\)

\(M=3-3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Với điều kiện trên của $x,y,z$ thì biểu thức M có max thôi em nhé.

\(M=\dfrac{2x+y+z-15}{x}+\dfrac{x+2y+z-15}{y}+\dfrac{x+y+2z-15}{z}\)

\(M=\dfrac{x+\left(x+y+z\right)-15}{x}+\dfrac{y+\left(x+y+z\right)-15}{y}+\dfrac{z+\left(x+y+z\right)-15}{z}\)\(M=\dfrac{x-3}{x}+\dfrac{y-3}{y}+\dfrac{z-3}{z}\)

\(\dfrac{3-M}{3}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) cần tìm max \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=N\)

c/m không tồn tại N_max

trong 3 số (x;y;z) chỉ cần một số tiến đến 0 ; N-->vô cùng

Ta có: \(x^2\left(y+z\right)\ge x^2.2\sqrt{yz}=2\sqrt{x^4}.\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương y,z và sử dụng giả thiết xyz = 1)

Hoàn toàn tương tự: \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)

Do đó \(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

\(\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(a=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\), \(b=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\), \(c=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\)

Suy ra: \(x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9}\), \(y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9}\), \(z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)

Do đó \(P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}\right)\)

\(=\frac{2}{9}\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\)

\(\ge\frac{2}{9}\left[4.3\sqrt[3]{\frac{c}{b}.\frac{a}{c}.\frac{b}{a}}+3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}-6\right]\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương)

\(=\frac{2}{9}\left[4.3+3-6\right]=2\)

Vậy \(P\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

\(A=\frac{x^2}{xy+2xz}+\frac{y^2}{zy+2xy}+\frac{z^2}{xz+2yz}\)

\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\left(cauchy-schwarz\right)\)

Sử dụng đánh giá quen thuộc:\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow A\ge1\)

"="<=>x=y=z

Bn vào câu hỏi tương tự nhé!Nếu ko có thì bn lên mạng nha!!!!!!

K mk nhé!

thanks!

haha!!!

Ta có:

\(\frac{2x-y}{5}=\frac{3y-2z}{15}\)

=>\(\frac{6x-3y}{15}=\frac{3y-2z}{15}\)

\(ADTCDTSBN\), ta có:

\(\frac{6x-3y}{15}=\frac{3y-2z}{15}=\frac{\left(6x-3y\right)+\left(3y-2z\right)}{15-15}=\frac{6x-2z}{0}=0\)

=>\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\\z=0\end{cases}}\) Vậy \(x=y=z=0\)

\(\text{Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:}\)

\(\frac{2x-y}{5}=\frac{3y-2z}{15}=\frac{2x-4y+2z}{-10}=0\Rightarrow2x=y;3y=2z\)

rồi đó -_-

\(\frac{2x+2y-z}{z}=\frac{2x-y+2z}{y}=\frac{-x+2y+2z}{x} \)

=>\(\frac{2x+2y-z}{z}+3=\frac{2x-y+2z}{y}+3=\frac{-x+2y+2z}{x}+3\)

=>\(\frac{2x+2y+2z}{z}=\frac{2x+2y+2z}{y}=\frac{2x+2y+2z}{x}\)

=>\(\frac{x+y+z}{z}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{x}\)

=>\(\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\)

Với \(x+y+z=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\x+z=-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{8xyz}=\frac{-xyz}{8xyz}=-\frac{1}{8}\)

Với \(x=y=z\)\(\Rightarrow M=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{8xyz}=\frac{2x.2y.2z}{8xyz}=\frac{8xyz}{8xyz}=1\)