Sửa lại đề :\(x^2+y^2+z^2+x+3y+5z+7=0\)

T nghĩ đề nên là số 9 sẽ hợp lí hơn

\(x^2+y^2+z^2+x+3y+5z+9=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y^2+3y+\dfrac{9}{4}\right)+\left(z^2+5z+\dfrac{25}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(z+\dfrac{5}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow pt\) vô nghiệm

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+0}=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{zx}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)

\(=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\) là số hữu tỉ

A=\(\frac{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}{x^2y^2z^2}\)

Ta có:\(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(xy+yz+zx\right)^2\)(do x+y+z=0)

Do đó A=\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{\left(xyz\right)^2}=\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}\right]^2\)

Nên A là số chính phương(ĐCCM)

Giả sử tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài.

Ta có tính chất sau: với các số nguyên a,b,c bất kì, thì hai tổng a+b+c và |a|+|b|+|c| luôn có cùng tính chẵn lẻ.

Do đó, \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn có cùng tính chẵn lẻ với \(x-3y+y-5z+z-7x\)

Mà \(x-3y+y-5z+z-7x=-6x-2y-4z=2.\left(-3x-y-2z\right)\) luôn chẵn với mọi số tự nhiên x,y,z

=>\(\) \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn chẵn

Theo giả thiết:

\(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|=9^{x}+11^{y}+13^{z}\)

Do vế trái chẵn theo chứng minh trên, ta suy ra \(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) cũng là số chẵn (1).

Mà 9, 11, 13 là các số tự nhiên lẻ, nên \(9^{x};11^{y};13^{z}\) cũng là các số tự nhiên lẻ

=>\(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) có kết quả là 1 số lẻ (mâu thuẫn với (1))

Vậy điều giả sử là sai, hay ko tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn yêu cầu

Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)

Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).

\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.

Thử với \(x = y = z = 0\):

\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 1\):

\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 2\):

Vế trái:

\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)

Vế phải:

\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)

Không thỏa.

Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.

Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Tham khảo

Tham khảo nha ông: