Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)

Với a, b > 0, ta có: 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.

Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi

\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.

\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)

\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)

\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)

Lời giải:

\(P=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{(a+b)^3-3ab(a+b)}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{1-3ab}+\frac{1}{ab}\)

\(=\frac{1}{1-3ab}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3ab+3ab}=(1+\sqrt{3})^2\) theo BĐT Cauchy-Schwarz

Vậy \(P_{\min}=(1+\sqrt{3})^2\)

theo tôi nghĩ biểu thức này có MAx chứ ko có Min

nghĩ đề này chỉ có Max:

với a,b>0 

\(P=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{ab}\ge\dfrac{4}{a^3+b^3+ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab}\)

\(=\dfrac{4}{a^2+b^2}\)

có \(a+b=1=>\left(a+b\right)^2=1\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b=>\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge1\)

\(< =>a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\ge1\)

\(< =>a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\) 

\(=>\dfrac{4}{a^2+b^2}\le\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}=8\)

\(=>P\le8\) dấu '=' xảy ra<=>a=b=1/2

vậy Max P=8

\(2a\)\(:\)\(x+y=2\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

\(\Rightarrow4-2xy\)nhỏ nhất 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất 

Mà x + y = 2 \(\Rightarrow\)x , y không thể là 2 số âm

vì ta cần xy lớn nhất nên x , y không thể khác dấu

\(\Rightarrow\)ta chỉ còn trường hợp x , y đều dương và x + y = 2 

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất khi và chỉ khi x = 2 ; y= 0 và x = 0 ; y = 2

không chắc nữa

#)Giải :

a, Ta có : \(x^2-y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)

=> Min = 2 khi x = y = 1

-Trả Lời:

a,Ta có:

      \(x+y=2\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4-2xy\)

\(\Rightarrow4-2xy\)nhỏ nhất

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất

Mà \(x+y=2\Rightarrow x,y\)Không thể là 2 số âm

Vì ta cần \(xy\) lớn nhất nên \(x,y\)không thể khác dấu

\(\Rightarrow\)Ta chỉ còn một trường hợp \(x,y\)đều dương và \(x+y=2\)

\(\Rightarrow xy\)lớn nhất khi và chỉ khi \(x=2;y=0\)và \(x=0;y=2\)

@#Chúc bạn học tốt#@

Nhớ k mình nha. Thank you!

Còn phần b mình không biết làm, mong bạn thông cảm.

Đành làm cách này cho chắc ăn vậy=( có cách kia nhanh hơn nhưng em không dám...

b) \(B=a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2\)

Từ đề bài suy ra b = 1 - a. Thay vào suy ra:

\(B=a^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-2a+1=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow b=1-a=\frac{1}{2}\)

Vậy \(B_{min}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab=4\Rightarrow a+b\ge2\)

\(P=\dfrac{a^4}{a+ab}+\dfrac{b^4}{b+ab}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b+2ab}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2.2ab}{a+b+2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+3ab}{a+b+2}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+1+2}{a+b+2}\)

\(\ge\dfrac{2\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2.1}+2}{a+b+2}=\dfrac{a+b+2}{a+b+2}=1\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)

\(a-b=1\Rightarrow a=b+1\)

\(A=a^3-b^3-ab=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\)

\(=a^2+b^2=a^2+\left(a+1\right)^2=a^2+a^2+2a+1=2a^2+2a+1=2\left(a^2+a+\frac{1}{2}\right)\)

\(=2\left[\left(a^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}\right]=\frac{1}{2}+2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{1}{2}\) tại \(a=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}\)

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Đề bài sai, bạn có thể thử kiểm tra với \(a=1.0001\) và \(b=0.9999\)