Lời giải:
\(P=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{(a+b)^3-3ab(a+b)}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{1-3ab}+\frac{1}{ab}\)
\(=\frac{1}{1-3ab}+\frac{3}{3ab}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3ab+3ab}=(1+\sqrt{3})^2\) theo BĐT Cauchy-Schwarz
Vậy \(P_{\min}=(1+\sqrt{3})^2\)
theo tôi nghĩ biểu thức này có MAx chứ ko có Min
nghĩ đề này chỉ có Max:
với a,b>0
\(P=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{ab}\ge\dfrac{4}{a^3+b^3+ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab}\)
\(=\dfrac{4}{a^2+b^2}\)
có \(a+b=1=>\left(a+b\right)^2=1\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b=>\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge1\)
\(< =>a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\ge1\)
\(< =>a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(=>\dfrac{4}{a^2+b^2}\le\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}=8\)
\(=>P\le8\) dấu '=' xảy ra<=>a=b=1/2
vậy Max P=8
