a.

E và F là trung điểm AB và CD nên: \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}\) ; \(\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DF}\)

G là trung điểm EF nên: \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AG}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DF}\)

\(=2\overrightarrow{AE}+2\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}\right)=2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{AF}=2\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)=4\overrightarrow{AG}\)

b.

\(\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

c.

Từ câu b ta có:

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow4\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)

Trên tia đói của tia NM lấy P sao cho MN = NP

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta CPN\) có :

AN = NC ( gt )

\(\widehat{N_1}=\widehat{N_2}\)( đối đỉnh )

MN = NP ( cách vẽ )

=> \(\Delta AMN\) = \(\Delta CPN\) ( c . g . c) (1)

(1) => CP = AM

=> CP = BM

(1) \(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{A_1}\)

=> PC // AB

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta PCM\) có :

\(\widehat{BMC}=\widehat{PCM}\) ( PC // AB )

Chung MC

MB = PC ( c/m trên )

=> \(\Delta BMC\) = \(\Delta PCM\) (2)

(2) => MP = BC

=> NP = 1 / 2 . MP

=> NP = 1/2 . Bc

(2) => MN // BC

Trên tia đối của tia MN, lấy điểm D sao cho N là trung điểm của MD.

Xét tam giác ANM và tam giác CND có:

AN = CN (N là trung điểm của AC)

ANM = CND (2 góc đối đỉnh)

NM = ND (N là trung điểm của MD)

=> Tam giác ANM = Tam giác CND (c.g.c)

=> AM = CD (2 cạnh tương ứng) mà AM = MB (M là trung điểm của AB) => MB = CD

AMN = CDN (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AM // CD

Xét tam giác BMC và tam giác DCM có:

BM = DC (chứng minh trên)

BMC = DCM (2 góc so le trong, AM // CD)

MC chung

=> Tam giác BMC = Tam giác DCM (c.g.c)

=> BCM = DMC (2 góc tương ứng) mà 2 góc này ở vị trí so le trong => MN // BC

MD = BC (2 cạnh tương ứng) mà MD = 2MN (N là trung điểm của MD) => BC = 2MN

Ta có : M là trung điểm AB 

           N là trung điểm AC

=) MN là đường trung bình tam giác ABC ( Đối diện cạnh BC )

=) MN // BC và MN = BC : 2  =) 2MN = BC

Trên tia đối của tia \(NM,\)lấy điểm D sao cho \(NM=ND\Rightarrow2MN=MD\)

Xét \(\Delta ANM\) và \(\Delta CND:\)

\(AN=CN\)( N là trung điểm AC )

\(\widehat{ANM}=\widehat{CND}\)(Đối đỉnh )

\(NM=ND\)(Hình vẽ )

\(\Rightarrow\Delta ANM=\Delta CND\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AM=CD\Rightarrow CD=MB\left(=AM=\frac{1}{2}AB\right)\\\widehat{AMN}=\widehat{CDN}\Rightarrow CD\text{//}AM\Rightarrow CD\text{//}MB\Rightarrow\widehat{CDB}=\widehat{MBD}\left(góc.so.le.trong\right)\end{cases}}\)

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta CDB\)

Cạnh DB chung

\(\widehat{MBD}=\widehat{CDB}\)

\(MB=CD\)(chứng minh trên )

\(\Rightarrow\Delta MBD=\Delta CDB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}MD=BC\Rightarrow BC=2MN\left(=MD\right)\\\widehat{MDB}=\widehat{CBD}\end{cases}}\)

Mà \(\widehat{MDB}\)và \(\widehat{CBD}\)là 2 góc so le trong \(\Rightarrow MD\text{//}BC\)hay \(MN\text{//}BC\)

Vậy \(MN\text{//}BC;BC=2MN.\)

Bạn kia làm đúng rồi

Có: AM=BM(gt)

      AN=CN(gt)

=>PQ là đường trung bình của ht BMNC

=>PQ//MN

Bên dưới giải thiếu

Xét ΔABC có:

AM=BM(gt)

AN=CN(gt)

=>MN là đường trung bình

=>MN//BC

=>BMNC là hình thnag

(Xong nối đoạn dưới vào)

eûr

4eddws3ewdedswswdwxewdswszcczcwdwdswdsdxxw