\(A=\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{a}\)\(+\frac{1}{ab}\)\(\ge\frac{25}{4a+ab}\)\(=\frac{25}{a\left(b+4\right)}\)\(\ge\frac{25}{\frac{1}{4}\left(a+b+4\right)^2}\)\(=1\)

\(A_{min=1}\)\(khi\){ a = 5 

                            b = 1

Lần đầu tiên làm toán lớp 8 , có gì sai sót mong bạn chỉ ra hộ mình

\(A=\frac{4}{a}+\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}\ge\frac{5^2}{4a+ab}=\frac{25}{a\left(4+b\right)}\)

\(=\frac{25}{\frac{1}{4}\left(a+b+4\right)^2}=\frac{25}{\frac{1}{4}.100}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{25}{a\left(b+4\right)}=1\Leftrightarrow a\left(b+4\right)=25\)

Mà a,b dương => MinA = 1 <=> a = 1 ; b = 5 ( tmđk )

Lần sau bạn chú ý viết đề bằng công thức toán

Lời giải:

$P=1-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$

$=1-\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{1-2ab}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$

$=1+\frac{2}{ab}$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq 8$

$\Rightarrow P=1+\frac{2}{ab}\ge 9$

Vậy $P_{\min}=9$ khi $a=b=\frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT Cosi

\(A=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2ab}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Đến đây bạn tự xử lí phần dấu "="

Nhật Quỳnh Cô si lỗi rồi kìa -_-

\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\)\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}=\frac{4}{4}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=1

Vậy..........................

Vâng ạ! Để mình xem lại

Ta có : (a-b)^2 >= 0 với mọi a,b

<=> a^2-2ab+b^2 >= 0

<=> a^2+b^2 >= 2ab

<=> a^2+2ab+b^2 >= 4ab

<=> (a+b)^2 >= 4ab

Với a,b > 0 thì ta chia 2 vế cho ab .(+b) được :

a+b/ab >= 4/a+b

<=>1/a + 1/b >=4ab

Áp dụng bđt trên thì A >= 4/(a^2+b^2+2ab) = 4/(a+b)^2 >= 4/1^2 = 4

Dấu "=" xảy ra <=> a=b ; a+b =1  <=> a=b=1/2

Vậy Min A = 4 <=> x = y= 1/2

`a+ble1<=>(a+b)^2le1`

Áp dụng bđt `1/(a)+1/bge4/(a+b)` ta có:

`Age4/(a^2+2ab+b^2)=4/(a+b)^2=4/1=4`

Dấu `=` xảy ra khi:`a^2+b^2=2ab<=>(a-b)^2=0<=>a=b` và `a+b=1`

`<=>a=b=1/2`

Vậy GTNN của `A=4` khi và chỉ khi `a=b=1/2` 

\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+zx=6\\P=x^2+y^2+z^2\end{cases}}\)

\(6=x+y+z+xy+yz+zx\le x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{9}{3}=3\)