(a³+b³)(a²+b²)-(a+b)

=a⁵+a³b²+ b³a²+b⁵-(a+b)

=a⁵+b⁵+a²b²(a+b)-(a+b)

=a⁵+b⁵+(a+b)-(a+b)(vì ab=1 nên a²b²=1)

=a⁵+b⁵(điều phải chứng minh)

\(\left(a^3+b^3\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+a^3b^2+b^3a^2+b^5-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+b^5+a^2b^2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+b^5+\left(a+b\right)\)

\(=a^5+b^5\)

Cho A=x²+2x+24, với x thuộc N

Tìm x để A là số chính phương

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(9+ab\ge2\sqrt{9ab}=6\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow VT=a+b\ge\frac{2\sqrt{ab}\cdot6\sqrt{ab}}{9+ab}=\frac{12ab}{9+ab}=VP\)

Bài 2: 

a)\(\frac{a^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\ge a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\)

\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\le3\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\sqrt[3]{b^2c^2}\le\frac{1}{3}\left(bc+b+c\right)\). Tương tự r` cộng theo vế ta có ĐPCM

b)\(\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}}=a-\frac{2}{3}b\sqrt[3]{a^2}\)

\(\ge a-\frac{2}{3}b\frac{\left(a+a+1\right)}{3}=a-\frac{2b}{9}-\frac{4ab}{9}\)

Vậy \(VT\ge a+b+c-\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{4}{9}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge\frac{7}{3}-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{27}=1=VP\)

thắng đánh máy mấy bài này có mỏi tay ko

@phan hiếu: bình thường bn, mk làm nhiều bài dài hơn gấp 10 lần kìa

Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!

Câu b) 

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được: 

=>   \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)

=>   \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

DẤU "=" Xảy ra <=>    \(a=b=c\)

Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!

1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=> Đẳng thức không xảy ra

2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

3. \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\)

Ta có: \(\left(2\right)\Leftrightarrow a^6+a^5b+ab^5+b^6\ge a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5\ge a^4b^2+a^2b^4\)\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5-a^4b^2-a^2b^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2+ab^5-a^2b^4\ge0\)\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)+ab^4\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(2a\right)\)

Vì (2a) luôn đúng với mọi \(a,b\ge0\)nên (2) đc chứng mih.

\(a^3-b^3=\left(a-b\right).\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3-b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

\(a^2-b^2=\left(a-b\right).\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-b^2=a^2+ab-ab-b^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2-b^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow\)\(đpcm\)

Bài 2:

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab.\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab.\left(-c\right)=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

(Còn nhiều cách nữa ,mình làm 1 cách nhé)

\(0< a,b,c< 1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ab< a;a^2< a\\bc< b;b^2< b\\ca< c;c^2< c\end{cases}}\)

\(a\ge b\ge c\)

\(\frac{1}{3}\le a< 1\Rightarrow\left(a-\frac{1}{3}\right)\left(a-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)

aaaaaaaa bỏ mấy đoạn trên đi nha >_< vẽ bùa đó, lấy mỗi đoạn dưới thôi