Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp

Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)

\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)

\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)

Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Ta thực hiện phép đổi biến thì:

\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)

Đến đây là phần của bạn

(Vào thống kê hỏi đáp xem ảnh nhé! 2 cách, cách đầu dùng kỹ thuật uvw, cách kia là SOS)

Cho \(a=b=c\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\right)\ge1+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow2\ge2\) ( Đúng)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)

Có: \(\frac{3a+b+2c}{2a+c}=\frac{a+3b+c}{2b}=\frac{a+2b+2c}{b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+2a+c}{2a+c}=\frac{a+b+c+2b}{2b}=\frac{a+b+c+b+c}{b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2a+c}+1=\frac{a+b+c}{2b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2a+c}=\frac{a+b+c}{2b}=\frac{a+b+c}{b+c}\)

\(\Rightarrow2a+c=2b=b+c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c=b\\a=\frac{1}{2}b\end{cases}}\)

Thay vào biểu thức trên , ta được:

\(P=\)\(\frac{\left(\frac{1}{2}b+b\right)\left(b+b\right)\left(b+\frac{1}{2}b\right)}{\frac{1}{2}b.b.b}=9\)

Vậy \(P=9\)

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)². VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

4c, 

\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)

\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{2b+c}=\frac{b}{2c+a}=\frac{c}{2a+b}=\frac{a+b+c}{2b+c+2c+a+2a+b}=\frac{a+b+c}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)

=> \(\frac{a}{2b+c}=\frac{b}{2c+a}=\frac{c}{2a+b}=\frac{1}{3}\)