Ta có

x + y \(\ge\)xy(4 - x - y)

<=> x + y + xy² + yx² - 4xy \(\ge0\)

 <=> \(\left(x-2xy+xy^2\right)+\left(y-2xy+yx^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}-x\sqrt{y}\right)^2\ge0\)

=> ĐPCM

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)=36\)

áp dụng BĐT cosi : 

\(z^2+\left(x+y\right)^2\ge2z\left(x+y\right)\)

<=> \(z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)\ge4z\left(x+y\right)=36< =>z\left(x+y\right)\ge9\)

ta lại có \(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) áp dụng BĐT buhihacopxki dạng phân thức => \(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{yz+xz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\left(đpcm\right)\)

dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}yz=xz< =>x=y\\x+y+z=6\\z^2=\left(x+y\right)^2\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z=2x=2y\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{3}{2}\\z=3\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz dạng Engel:

\(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\)     (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương z và x+y, ta có:

\(z\left(x+y\right)\le\left(\dfrac{x+y+z}{2}\right)^2=9\). Suy ra, \(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\)     (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4}{9}\) (đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{yz}=\dfrac{1}{xz}\) và \(z=x+y\).

Vì x,y,z dương nên xyz dương

nên chia cả hai vế của bđt ta được bđt \(\frac{x+y}{xyz}\ge1\)và ta cần chứng minh bđt này đúng thì bđt ban đầu được chứng minh

Ta có \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (*)

Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{z+x+y}{2}\right)^2=2^2=4\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)( AM-GM ) (**)

Từ (*) và (**) => \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge1\)( đpcm )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=4\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)

ta có \(\sum\) \(a+\frac{9}{16}a^2\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}\)

\(\Rightarrow\)\(\sum\) \(a\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}-\frac{9}{16}a^2\)\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})-\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)\ge\frac{9}{2}\sqrt{abc}-\frac{9}{16}.4\sqrt{abc}\)>\(2\sqrt{abc}\) theo bđt côsi 

ĐPCM 

có thể cảm ơn tôi tại đây https://diendantoanhoc.net/members/

Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)

\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)

\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)

<=>27xyz=27(x+y+z)+54

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge27\left(x+y+z\right)+54\Rightarrow x+y+z\le6\)

\(4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le12\left(x+y+z\right)=9\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)\le9\left(x+y+z\right)+18=9\left(x+y+z+2\right)\)

\(\Rightarrow4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le9xyz\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\left(Q.E.D\right)\)

Từ giả thiết ta đặt ra: \(x+y+z=xyz\Rightarrow xy+yz+zx\ge\sqrt{3}a+b+c\ge9\) * 

Ta lại có: \(x^2+5\ge5\sqrt{xyz}\)theo BĐT Cauchy 

Từ đó BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+27\le4xy+yz+zx\Leftrightarrow a+b+c+27\le6\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\r=xyz\end{cases}}\)

Thì ta có: \(p=r\)và cần chứng minh 

\(6q\ge p^2+27\Leftrightarrow6pr\ge p^3+27p\)

Theo BĐT Schur thì: \(r\ge\frac{4pq-p^3}{9}\)

Do đó: \(BĐT\Leftrightarrow\frac{8}{3}q^2\ge\frac{3}{2}p^2+27\)

BĐT cuối cùng đúng theo Đk *

P/s: Tham khảo nhé

Đặt \(A=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)

Ta có:

\(x^2+xy+yz+zx=x+xyz=x\left(x+yz\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x\left(x+yz\right)}{x}=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}\)

\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}=\frac{\left(x^2+xy\right)+\left(yz+zx\right)}{x}=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)

Vì x, y, z >0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số dương, ta được:

\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x^2}.+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)

Do đó \(\sqrt{x+yz}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{y+xz}\ge\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\left(2\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{z+xy}\ge\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3), ta được:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)\(\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{yz+zx+xy}{\sqrt{xyz}}\)

 \(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}\)(vì \(xy+yz+zx=xyz\))

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\xy+yz+zx=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=3\)

Vậy với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx =xyz thì:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\).

\(\)

\(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (1)

Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=9\Rightarrow\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 3/2 ; z = 3