Câu 1:

\(f\left(x\right)=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}-\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=m\)

Tọa độ hóa bài toán bằng cách gọi \(A\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(B\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) là hai điểm cố định trên mặt phẳng tọa độ Oxy, M là điểm di động có tọa độ \(M\left(x;0\right)\)

\(\Rightarrow AM=\left|\overrightarrow{AM}\right|=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)

\(BM=\left|\overrightarrow{BM}\right|=\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=AM-BM\)

Mặt khác, theo BĐT tam giác ta luôn có

\(\left|AM-BM\right|< AB=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1\)

\(\Rightarrow\left|f\left(x\right)\right|< 1\Rightarrow\left|m\right|< 1\Rightarrow-1< m< 1\)

Câu 2:

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=a\ge0\)

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki:

\(\Rightarrow a\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x-1+3-x\right)}=2\sqrt{2}\)

Mặt khác

\(a^2=x-1+3-x+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\ge2\)

\(\Rightarrow2\le a\le3\)

Cũng từ trên ta có:

\(a^2=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=\frac{a^2-2}{2}=\frac{1}{2}a^2-1\)

Phương trình trở thành:

\(a-\left(\frac{1}{2}a^2-1\right)=m\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}a^2+a+1=m\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=-\frac{1}{2}a^2+a+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f'\left(a\right)=-a+1< 0\) \(\forall a\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\) nghịch biến trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow f\left(2\sqrt{2}\right)\le f\left(a\right)\le f\left(2\right)\Rightarrow-3+2\sqrt{2}\le f\left(a\right)\le1\)

Vậy:

- Nếu \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì phương trình vô nghiệm

- Nếu \(-3+2\sqrt{2}\le m\le1\) pt có nghiệm

Lời giải:
a) Để 2 pt cùng có nghiệm thì:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta'_1=16-4m\geq 0\\ \Delta_2=1+16m\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4\geq m\geq \frac{-1}{16}\)

b) 

Gọi $2a,a$ lần lượt là nghiệm của PT $(1)$ và PT $(2)$:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (2a)^2-8.2a+4m=0\\ a^2+a-4m=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-4a+m=0\\ a^2+a-4m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 5a=5m\Leftrightarrow a=m\)

Thay vô: $m^2+m-4m=0\Leftrightarrow m^2-3m=0$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=3$

( 4 + m²)x - 8x + 2 - m = 0 ( *)

1. Với : m = - 5 , ta có :

( *) ⇔ 4x + 25x - 8x + 2 + 5 = 0

⇔ 21x + 7 = 0

⇔ x = \(\dfrac{-7}{21}\)

2. Ta có :

( *) ⇔ 4x + xm² - 8x + 2 - m = 0

⇔ xm² - 4x + 2 - m = 0

⇔ x( m² - 4) = m - 2

Tự chia TH ra làm nhé

3. Với x = \(\dfrac{-1}{4}\) làm nghiệm , ta có :

(*) ⇔ ( 4 + m²).( \(\dfrac{-1}{4}\)) + 8.\(\dfrac{1}{4}\) + 2 - m = 0

Tự tính nhé , mk ngủ đây , muộn oy

2: =>2x^2-8x+4=x^2-4x+4 và x>=2

=>x^2-4x=0 và x>=2

=>x=4

3: \(\sqrt{x^2+x-12}=8-x\)

=>x<=8 và x^2+x-12=x^2-16x+64

=>x<=8 và x-12=-16x+64

=>17x=76 và x<=8

=>x=76/17

4: \(\sqrt{x^2-3x-2}=\sqrt{x-3}\)

=>x^2-3x-2=x-3 và x>=3

=>x^2-4x+1=0 và x>=3

=>\(x=2+\sqrt{3}\)

6:

=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=-2\)

=>\(\sqrt{x-1}+1-\left|\sqrt{x-1}-1\right|=-2\)

=>\(\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\sqrt{x-1}+1+2=\sqrt{x-1}+3\)

=>1-căn x-1=căn x-1+3 hoặc căn x-1-1=căn x-1+3(loại)

=>-2*căn x-1=2

=>căn x-1=-1(loại)

=>PTVN

1) ĐK: \(x\ge\dfrac{5}{2}\)

pt <=> \(x-4=\sqrt{2x-5}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\\left(x-4\right)^2=2x-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\x^2-8x+16=2x-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\x^2-10x+21=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\\left(x-3\right)\left(x-7\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\\left[{}\begin{matrix}x=3\left(l\right)\\x=7\left(n\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy, pt có nghiệm duy nhất là x=7

2) ĐK: \(2x^2-8x+4\ge0\)

pt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\2x^2-8x+4=x^2-4x+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x^2-4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\left(x-4\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=4\left(n\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy, pt có nghiệm duy nhất là x=4

3) ĐK: \(x\ge3\)

pt <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\le8\\x^2+x-12=x^2-16x+64\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le8\\17x=76\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le8\\x=\dfrac{76}{17}\left(n\right)\end{matrix}\right.\) 

Vậy, pt có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{76}{17}\)\(\)

4) ĐK: \(x\ge3\)

pt <=> \(x^2-3x-2=x-3\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{3}\left(n\right)\\x=2-\sqrt{3}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

-(2x^2-1)(2x^2+1)(1+2x)(1-2x+4x^2)x(x^2+2)=0

<=>2x^2-1=0  hoac 1+2x=0

<=> x={1/can(2);-1/can(2);0;-0.5}

1) Thay \(m=\sqrt{3}+1\) vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{3}+1-1\right)x-2y=1\\3x+\left(\sqrt{3}+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}x-2y=1\\3x+\left(\sqrt{3}+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\\3x+\left(\sqrt{3}+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{3}y-y\left(\sqrt{3}+1\right)=\sqrt{3}-1\\3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{3}y-\sqrt{3}y-y=\sqrt{3}-1\\3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(-3\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{3}-1\\3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}+1}\\3x-2\sqrt{3}\cdot\dfrac{-\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-5+2\sqrt{3}}{13}\\3x=\sqrt{3}-\dfrac{12+10\sqrt{3}}{13}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-5+2\sqrt{3}}{13}\\x=\left(\dfrac{13\sqrt{3}-12-10\sqrt{3}}{13}\right)\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}-12}{13}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{3}-4}{13}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi \(m=\sqrt{3}+1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{3}-4}{13}\\y=\dfrac{-5+2\sqrt{3}}{13}\end{matrix}\right.\)

a: Sửa đề: PT x^2-2x-m-1=0

Khi m=2 thì Phương trình sẽ là:

x^2-2x-2-1=0

=>x^2-2x-3=0

=>(x-3)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b:

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(-m-1\right)\)

\(=4+4m+4=4m+8\)

Để phương trình có hai nghiệm dương thì

\(\left\{{}\begin{matrix}4m+8>0\\2>0\\-m-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< m< -1\)

\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\)

=>\(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=4\)

=>\(2+2\sqrt{-m-1}=4\)

=>\(2\sqrt{-m-1}=2\)

=>-m-1=1

=>-m=2

=>m=-2(loại)