Nếu \(\dfrac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\dfrac{a+b}{a+c}\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a+c\right)=\left(a^3+c^3\right)\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{a+b}=\dfrac{a^3+c^3}{a+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a+b}=\dfrac{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}{a+c}\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2-ac+c^2\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2-a^2+ac-c^2=0\)

\(\Rightarrow b^2-c^2-ab+ac=0\)

\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c\right)-a\left(b-c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)=0\)

Thay a = b + c vào ta được

\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c-b-c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(b-c\right).0=0\)

\(\Rightarrow0=0\) ( Hợp lí )

Vậy \(\dfrac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\dfrac{a+b}{a+c}\) với a = b + c

viết thế nay bố ai hiểu được

bạn kì quá ko giúp thì thôi còn phàn nàn. 

Bđt \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}-\frac{a}{2}\right)=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{2\left(a^2+b^2\right)}\right)\)

\(=\Sigma_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a\left(a+b\right)}{2\left(a^2+b^2\right)}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(a-b\right)\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{b\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2\right)}\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d 

P/s: Em thử, sai thì thôi nha!

a+b+c+d=0

=>a+b=-(c+d)

=>(a+b)^3=-(c+d)^3

=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)

=>a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)

=>a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) vi a+b=-(c+d)

=> a^3+b^3+c^3+d^3=3(c+d)(ab+cd)

Xem lai gium mk nha!!

Ta có : a+b+c+d=0
=>a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d))
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd)

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3ab^2}=a-\frac{2}{3}b\)

tương tự cộng lại ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=d\)

Từ giả thiết: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow ac=b^2\Rightarrow abc=b^3\)

Ta có: \(\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}\)

Xét: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\) là 1 số nguyên (đpcm)

a+b+c=0↔a+b=-c↔\(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)↔\(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

↔\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

mà a^3+b^3+c^3=0→3abc=0↔\(\left[\begin{array}{nghiempt}a=0\\b=0\\c=0\end{array}\right.\)(dfcm)

Đặt  \(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)

Với mọi  \(a,b,c>0\)  thì ta có bất đẳng thức luôn đúng với điều kiện trên như sau:

 \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2;\)  \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)  và  \(b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)

Khi đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh, tức biểu thức  \(A\)  sẽ trở thành:

\(A=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge\frac{a^2b+ab^2}{2ab}+\frac{b^2c+bc^2}{2bc}+\frac{c^2a+ca^2}{2ca}=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c\)

Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi  \(a=b=c\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\)

Biến đổi VT ta có :

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2+ac+bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]=VP\) (đpcm)