- Chắc là gọi thầy Nguyễn Việt Lâm thôi :)

1.

\(2n+1\) luôn lẻ \(\Rightarrow2n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1\Rightarrow n=2a\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ \(\Rightarrow\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow n+1=\left(2b+1\right)^2=4b^2+4b+1\)

\(\Rightarrow n=4b\left(b+1\right)\)

Mà \(b\left(b+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) luôn chẵn

\(\Rightarrow4b\left(b+1\right)⋮8\Rightarrow n⋮8\)

Mặt khác số chính phương chia 3 chỉ có các số dư 0 và 1

Mà \(\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=3n+2\) chia 3 dư 2

\(\Rightarrow n+1\) và \(2n+1\) đều chia 3 dư 1

\(\Rightarrow n⋮3\)

\(\Rightarrow n⋮24\) do 3 và 8 nguyên tố cùng nhau

2.

Lý luận tương tự bài 1, ta được n chẵn

Mặt khác các số chính phương chia 5 chỉ có các số dư 0, 1, 4

Mà: \(\left(2n+1\right)+\left(3n+1\right)=5n+2\) chia 5 dư 2

\(\Rightarrow2n+1\) và \(3n+1\) đều chia 5 dư 1

\(\Rightarrow2n⋮5\Rightarrow n⋮5\) (do 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)

\(\Rightarrow n=5k\Rightarrow6n+5=5\left(6k+1\right)\)

- TH1: \(k=0\Rightarrow n=0\Rightarrow6n+5\) là SNT (thỏa mãn)

- TH2: \(k>0\Rightarrow6k+1>0\Rightarrow6n+5\) có 2 ước dương lớn hơn 1 \(\Rightarrow\) không là SNT (loại)

Vậy \(n=0\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu

Ta có: 3x-4y 

          = x-6y+6y-+4y

          = 3.(x+2y)-10y

Mà: 10 chia hết cho 5 => 10y chia hết cho 5

       3 không chia hết cho 5 => 9x+2y0 chia hết cho 5 (1)

Ta có: x+2y

          =x+2y+5x-10y-5x+10y

          = 6x-8y-5.(x+2y)

Mà: 5 chia hết cho 5 => 5(x+2y) chia hết cho 5

      2 không chia hết cho 5 => (3x-4y) chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => x+2y <=> 3x -4y

Vậy ; x+2y <=> 3x-4y

ban gioi wa.cam on

Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên

2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

(n+1)+(2n+1)=3n+2

Ta thấy

3n+2≡2(mod3)

Suy ra

(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó: n⋮3

Vậy ta có đpcm.

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24

Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ

⇒2n+1=1(mod8)⇒2n+1=1(mod8)

=> n ⋮⋮ 4

=> n chẵn

=> n+1 cũng là số lẻ

⇒n+1=1(mod8)⇒n+1=1(mod8)

=> n ⋮⋮ 8

Mặt khác :

3n+2=2(mod3)3n+2=2(mod3)

⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)⇒(n+1)+(2n+1)=2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ

⇒n+1=2n+1=1(mod3)⇒n+1=2n+1=1(mod3)

=> n chia hết cho 3

Mà ( 3 ; 8 ) = 1

=> n chia hết cho 24

 Bạn tham khảo: !!!

Vì 2n-1 là số chính phương. Mà 2n-1 lẻ

\(\Rightarrow2n+1=1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow n⋮4\)

\(\Rightarrow\)n chẵn

\(\Rightarrow n+1\)lẻ

\(\Rightarrow n+1=1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow n⋮8\)

  Mặt khác

\(3n+2=2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=2\left(mod3\right)\)

Mà n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương lẻ

\(\Rightarrow n\text{+}1=2n\text{+}1=1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow n⋮3\)

    Mà (3:8)=1

\(\Rightarrow n⋮24\)

Giả sử \(n+1=a^2\) ; \(2n+1=b^2\) \(\left(a,b\in N^{\text{*}}\right)\)

Ta có b là số lẻ \(\Leftrightarrow b=2m+1\Rightarrow b^2=4m\left(m+1\right)+1\Rightarrow n=2m\left(m+1\right)\)

=> n chẵn => n + 1 lẻ => a lẻ => a = 2k+1 =>  \(n+1=\left(2k+1\right)^2=4k\left(k+1\right)+1\Rightarrow n=4k\left(k+1\right)⋮8\)

Vậy n chia hết cho 8

Ta có : \(a^2+b^2=3n+2\equiv2\)(mod 3)

Mặt khác : \(b^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1 , \(a^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1

=> Để \(a^2+b^2\equiv2\)(mod 3) thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) và \(b^2\equiv1\)(mod 3)

\(\Rightarrow b^2-a^2\)chia hết cho 3

Ta có : n = (2n + 1) - (n + 1) = \(b^2-a^2\)chia hết cho 3

Như vậy  \(n⋮3,n⋮8\) mà (3,8) = 1 

=> \(n⋮24\)

bằng 1 nhé100% là đúng

k cho mình nha 

Tham khảo:

Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3. (1)(1)

Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)

Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24n⋮24.

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/129628.html

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để: 
2a + 1 = n^2 (1) 
3a +1 = m^2 (2) 
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được: 
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 
=> a = 2k(k+1) 
vậy a chẵn . 
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1 
(1) + (2) được: 
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1 
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1) 
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8 

ta cần chứng minh a chia hết cho 5: 
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9 
xét các trường hợp: 
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7) 

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý) 

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý) 

=> a chia hết cho 5 

5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40 
hay : a là bội số của 40