1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

a) Ta có : \(A=\left|x+1\right|+\left|y-2\right|\)

\(\ge\left|x+1+y-2\right|\)

\(=\left|x+y-1\right|=\left|5-1\right|=\left|4\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> (x + 1)(y - 2) \(\ge\)0

Vậy Min A = 4 <=>  (x + 1)(y - 2) \(\ge\)0

bài 1:

a) (x+1)^2-(x-1)^2-3(x+1)(x-1)

=(x+1+x-1)(x+1-x+1)-3x^2-3

=2x^2-3x^2-3

=-x^2-3

\(y=x+\dfrac{1}{x}-5\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}-5=-3\)

\(y_{min}=-3\) khi \(x=1\)

\(y=4x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}-4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{2x.2x}}-4=-1\)

\(y_{min}=-1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)

\(y=x+\dfrac{4}{x}\Rightarrow y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=-2\)

\(y\left(-2\right)=-4\Rightarrow\max\limits_{x>0}y=-4\) khi \(x=-2\)

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế thì 

\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)

bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác

bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.

e nhầm đoạn này r

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\) rồi cộng lại thì 

\(M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\cdot2019\) ạ

Chắc lần này sẽ không nhầm nhưng hướng là thế ạ.

Bài 5 cần gì dùng Mincopxki chi cho mệt nhỉ?

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left[2^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)

Do đó: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{2x+\frac{1}{2x}}{\sqrt{2^2+\frac{1}{2^2}}}=\frac{4x+\frac{1}{x}}{\sqrt{17}}\)

Tương tự rồi cộng lại rồi dùng Cauchy-Schwarz

a) Ta có /x+2/\(\ge\)0 với \(\forall\)x

nên /x+2/+50\(\ge\)0 với mọi x

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)/x+2/=0

                       \(\Leftrightarrow\)x=\(-2\)

Vậy GTNN của A là 50 khi x=\(-2\)

b)Ta có /x-100/\(\ge\)0 với mọi x

           /y+200/\(\ge\)0 với mọi x

nên /x-100/+/y+200/-1\(\ge\)-1 với mọi x

Dấu"=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=100\\y=-200\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của B=-1 khi x=100;y=-200

c)Ta có \(-\)/x+5/\(\le\)0 với mọi x

nên 2015\(-\)/x+5/\(\le\)2015 với mọi x

Dấu"=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)x=\(-5\)

Vậy GTLN của bt trên là 2015 khi x=\(-5\)

Giải:

a) A=|x+2|+50

Nhận xét:

|x+2| ≥ 0 ∀ x

⇒|x+2|+50 ≥ 0+50

⇒            A ≥ 50

Vậy để A_{nhỏ nhất}=50 thì khi và chỉ khi |x+2|=0

                                                              x+2=0

                                                                  x=0-2

                                                                  x=-2

b) B=|x-100|+|y+200|-1

Nhận xét: 

|x-100|+|y+200| ≥ 0 ∀ x;y

⇒|x-100|+|y+200|-1 ≥ 0-1

⇒                          A ≥ -1

Vậy để B_{nhỏ nhất}=-1 thì khi và chỉ khi |x-100|+|y+200|=0

                                                         ⇒x-100=0 và y+200=0

                                                            x=0+100 và y=0-200

                                                                x=100 và y=-200

c) C=2015-|x+5|

Nhận xét:

|x-5| ≥ 0

⇒2015-|x-5| ≥ 2015-0

⇒              A ≥ 2015

Vậy để A_{nhỏ nhất}=2015 thì |x-5|=0

                                            x-5=0

                                               x=0+5

                                               x=5

Chúc bạn học tốt!

B1: Đk: 5x ≥ 0 => x ≥ 0

Vì |x + 1| ≥ 0 => |x + 1| = x + 1

     |x + 2| ≥ 0 => |x + 2| = x + 2

     |x + 3| ≥ 0 => |x + 3| = x + 3

     |x + 4| ≥ 0 => |x + 4| = x + 4

=> |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x

 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x

=> 4x + 10 = 5x

=> x = 10

B2: Ta có: |x - 2018| = |2018 - x|

=> A=|x + 2000| + |2018 - x| ≥ |x + 2000 + 2018 - x| = |4018| = 4018

Dấu " = " xảy ra <=> (x + 2000)(x - 2018) ≥ 0

Th1: \(\hept{\begin{cases}x+2000\ge0\\x-2018\ge0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge-2018\\x\le2018\end{cases}}\Rightarrow-2018\le x\le2018\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}x+2000\le0\\x-2018\le0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le-2018\\x\ge2018\end{cases}}\)(vô lý)

Vậy GTNN của A = 4018 khi -2018 ≤ x ≤ 2018

B3:

a, Vì |x + 1| ≥ 0 ; |2y - 4| ≥ 0

=> |x + 1| + |2y - 4| ≥ 0

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+1=0\\2y-4=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy...

b, Vì |x - y + 1| ≥ 0 ; (y - 3)² ≥ 0

 => |x - y + 1| + (y - 3)² ≥ 0 

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y+1=0\\y-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x-y=-1\\y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=-1\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

Vậy...

c, Vì |x + y| ≥ 0 ; |x - z| ≥ 0  ; |2x - 1| ≥ 0 

=> |x + y| + |x - z| + |2x - 1| ≥ 0 

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x-z=0\\2x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x=z\\x=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}+y=0\\x=z=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{-1}{2}\\x=z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

coi lại mới thấy trình bày ngờ-u :)) 

B1: Đk: 5x ≥ 0 => x ≥ 0

=> x + 1 > 0 => |x + 1| = x + 1

=> x + 2 > 0 => |x + 2| = x + 2 

=> x + 3 > 0 => |x + 3| = x + 3 

=> x + 4 > 0 => |x + 4| = x + 4 

Ta có:  |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x

=> .... Làm tiếp như dưới